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Lexikon der Mathematik: Kronecker-Menge

eine Teilmenge E einer lokal kompakten abelschen Gruppe G derart, daß für jede stetige Funktion ϕ : EU1 ⊂ ℂ und jedes ϵ > 0 ein Charakter γ ∈ \(\hat{G}\) existiert, so daß \begin{eqnarray}|\phi (x)-(\gamma,x)|\lt \varepsilon \end{eqnarray}

für alle xE gilt.

Jede Kronecker-Menge ist unabhängig, d. h. für alle {xj}j=1,…, kE, wobei die xj paarweise verschieden sind, und alle {nj}j=1,…, k ⊂ ℤ folgt aus \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j=1}^{k}{n}_{j}{x}_{j}=0\end{eqnarray}

bereits njxj = 0 für j = 1, …, k; jedoch ist nicht jede unabhängige Menge eine Kronecker-Menge. Weiterhin enthält jede Kronecker-Menge nur Elemente unendlicher Ordnung. Jede kompakte Kronecker-Menge ist insbesondere eine Helson-Menge, es gilt sogar für jedes Maß μ mit Träger in E, daß \(||\mu ||=||\hat{\mu }|{|}_{\infty }\) ist. Hierbei bezeichnet \(\hat{\mu }\) die Fourier-Stieltjes-Transformierte von μ, d. h. \begin{eqnarray}\hat{\mu}(\gamma):=\int_G(c,\gamma)d\mu(x)\end{eqnarray}

für alle Charaktere γ ∈ \(\hat{G}\)

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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