Kenngröße von Flächenkurven.

Die Krümmung κ(s) einer Kurve α(s), die auf einer regulären Fläche \(\mathcal{F}\subset \mathbb{R}^3\) liegt, setzt sich aus der Normalkrümmung κ_n(s) und der geodätischen Krümmung κ_g(s) zusammen.

Ist α(s) durch die Bogenlänge parametrisiert, so hat die zweite Ableitung α″(s) die Länge |κ(s)| und ist zum Hauptnormalenvektor n von α(s) parallel. In bezug auf die Fläche zerfällt α″(s) in die Summe einer tangentiellen n_t und einer zur Tangentialebene senkrechten Komponente 𝔫_n. Ist \(\mathcal{F}\) durch die Wahl eines Einheitsnormalenvektors 𝔲 orientiert, so ist die geodätische Krümmung als inneres Produkt von 𝔫_t mit dem Seitenvektor α′ × 𝔲, und die Normalkrümmung als inneres Produkt von 𝔫_n mit 𝔲 definiert. Es gilt \begin{eqnarray}{\kappa }^{2}={\kappa }_{n}^{2}+{\kappa }_{g}^{2}.\end{eqnarray}

Während die geodätische Krümmung eine von der zweiten Ableitung α″ abhängende innergeometrische Größe ist, hängt die Normalkrümmung nur von α′ ab und gehört nicht zur inneren Geometrie von \(\mathcal{F}\). Sie ist die Grundlage für die Untersuchung der Krümmung der Fläche.