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Lexikon der Mathematik: Krümmung von Flächenkurven

Kenngröße von Flächenkurven.

Die Krümmung κ(s) einer Kurve α(s), die auf einer regulären Fläche \(\mathcal{F}\subset \mathbb{R}^3\) liegt, setzt sich aus der Normalkrümmung κn(s) und der geodätischen Krümmung κg(s) zusammen.

Ist α(s) durch die Bogenlänge parametrisiert, so hat die zweite Ableitung α″(s) die Länge |κ(s)| und ist zum Hauptnormalenvektor n von α(s) parallel. In bezug auf die Fläche zerfällt α″(s) in die Summe einer tangentiellen nt und einer zur Tangentialebene senkrechten Komponente 𝔫n. Ist \(\mathcal{F}\) durch die Wahl eines Einheitsnormalenvektors 𝔲 orientiert, so ist die geodätische Krümmung als inneres Produkt von 𝔫t mit dem Seitenvektor α′ × 𝔲, und die Normalkrümmung als inneres Produkt von 𝔫n mit 𝔲 definiert. Es gilt \begin{eqnarray}{\kappa }^{2}={\kappa }_{n}^{2}+{\kappa }_{g}^{2}.\end{eqnarray}

Während die geodätische Krümmung eine von der zweiten Ableitung α″ abhängende innergeometrische Größe ist, hängt die Normalkrümmung nur von α′ ab und gehört nicht zur inneren Geometrie von \(\mathcal{F}\). Sie ist die Grundlage für die Untersuchung der Krümmung der Fläche.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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