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Lexikon der Mathematik: Krümmung von Kurven

Flexion, ein Maß für das Abweichen einer Kurve vom geradlinigen Verlauf.

Die Krümmung ist eine Funktion κ des Kurvenpunktes bzw. des Kurvenparameters. Ist α(s) eine reguläre, durch die Bogenlänge parametrisierte Kurve im ℝn, so ist der Betrag κ(s) = ||α″(s)|| ein Maß für deren Krümmung. Das entspricht der physikalischen Vorstellung, daß die Beschleunigung eines sich bewegenden Körpers proportional zum Vektor der zweiten Ableitung α(s), und bei konstanter Bahngeschwindigkeit proportional zur Krümmung der Bahnkurve ist.

Aus geometrischer Sicht ist die Krümmung das Inverse des Radius’ des Schmiegkreises der Kurve. Ist α(t) eine Kurve im ℝ3 in beliebiger Paramatrisierung, so ist die Krümmung durch \begin{eqnarray}\kappa (t)=\frac{||{\alpha }^{\prime}(t)\times {a}^{\prime\prime}(t)||}{||{\alpha}^{\prime}(t)|{|}^{3}}\end{eqnarray} gegeben.

Während die Krümmung in dieser Betrachtungsweise niemals negativ ist, gibt es für ebene Kurven α(s) eine vorzeichenbehaftete Variante κ2 der Krümmungsfunktion, die signierte Krümmung. Man betrachtet den linearen Operator Dπ/2 der Drehung der Ebene ℝ2 um 90° entgegen dem Uhrzeigersinn und definiert die signierte Krümmung durch \begin{eqnarray}{\kappa }_{2}=\frac{\langle {\alpha }^{\prime\prime},{D}^{\pi /2}({\alpha }^{\prime})\rangle }{||{\alpha }^{\prime}|{|}^{3}}=\frac{{x}^{\prime}{y}^{\prime\prime}-{x}^{\prime\prime}{y}^{\prime}}{{({{x}^{\prime}}^{2}+{{y}^{\prime}}^{2})}^{3/2}},\end{eqnarray}

wobei x(t) und y(t) die beiden Komponenten von α(t) sind.

Analog läßt sich für Kurven in einer beliebigen orientierten Ebene E ⊂ ℝ3 die signierte Krümmung definieren. Die Orientierung sei durch die Wahl eines zu E senkrechten Vektors 𝔫 der Länge 1 gegeben. Durch das vektorielle Kreuzprodukt wird jedem zu E parallelen Vektor 𝔢 ein ebenfalls zu E paralleler Vektor D(𝔢) = 𝔫 × 𝔢 zugeordnet. D ist eine Drehung des Vektorraums aller zu E parallelen Vektoren um 90°. Ersetzt man in der obigen Formel Dπ/2 durch D, so ergibt sich die signierte Krümmung einer Kurve α(s) in E.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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