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Lexikon der Mathematik: Krümmungs-Matrix

Begriff in der Theorie der komplexen Mannigfaltigkeiten.

Ist D ein Zusammenhang auf einem komplexen Vektorbündel EM, dann definiert man Operatoren D : 𝒜p (E) → 𝒜p+ \begin{eqnarray}D(\psi \wedge \xi )=d\psi \otimes \xi +{(-1)}^{p}\psi \wedge D\xi \end{eqnarray}

für alle C-p-Formen ψ ∈ 𝒜p (U) und alle Schnitte ξ ∈ 𝒜0 (E)(U) von E über U erfüllt ist. Insbesondere diskutiert man den Operator D2 : 𝒜0 (E) → 𝒜2 (E). Er ist linear über 𝒜0, d. h. für jeden Schnitt von E und jede C-Funktion f gilt D2 (f · σ) = f · D2σ. Daher ist die Abbildung D2 durch eine Bündelabbildung E → Λ2T*E induziert, oder, in anderen Worten, D2 gehört zu einem globalen Schnitt Θ des Bündels \begin{eqnarray}{\Lambda }^{2}{T}^{* }\otimes Hom\ (E,E)={\Lambda }^{2}{T}^{* }\otimes ({E}^{* }\otimes E).\end{eqnarray}

Wenn e = {e1, …, en} ein Frame für E ist, dann kann man Θ ∈ A2 (EE) durch eine Matrix Θe von 2-Formen ausdrücken: D2ei = ∑ Θijej; Θe nennt man die Krümmungs-Matrix von D, ausgedrückt durch den Frame. Für einen anderen Frame \(e^\prime_j=\sum g_{ij}e_j\) gilt \(D^2e^\prime_j=\sum g_{ij}\Theta_{jk}g^{-1}_{kl} e^\prime_l\), d. h. es gilt \begin{eqnarray}{\Theta }_{{e}^{\prime}}=g{\Theta }_{e}{g}^{-1}.\end{eqnarray}

Man kann die Krümmungs-Matrix folgendermaßen durch die Zusammenhangs-Matrix ϑ ausdrücken: D2ei = D(∑ ϑijej), in Matrix-Notation: Θe = eϑeϑe. Diese Gleichung nennt man die Cartansche Struktur-Gleichung. Wenn EM ein Hermitesches Vektorbündel und der Zusammenhang D von E mit der komplexen Struktur und der Metrik verträglich ist, dann ist die Krümmungs-Matrix des Hermiteschen Zusammenhangs eine Hermitesche Matrix von (1, 1)-Formen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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