Begriff in der Theorie der komplexen Mannigfaltigkeiten.

Ist D ein Zusammenhang auf einem komplexen Vektorbündel E → M, dann definiert man Operatoren D : 𝒜^p (E) → 𝒜^p+ \begin{eqnarray}D(\psi \wedge \xi )=d\psi \otimes \xi +{(-1)}^{p}\psi \wedge D\xi \end{eqnarray}

für alle C^∞-p-Formen ψ ∈ 𝒜^p (U) und alle Schnitte ξ ∈ 𝒜⁰ (E)(U) von E über U erfüllt ist. Insbesondere diskutiert man den Operator D² : 𝒜⁰ (E) → 𝒜² (E). Er ist linear über 𝒜⁰, d. h. für jeden Schnitt von E und jede C^∞-Funktion f gilt D² (f · σ) = f · D²σ. Daher ist die Abbildung D² durch eine Bündelabbildung E → Λ²T^* ⊗ E induziert, oder, in anderen Worten, D² gehört zu einem globalen Schnitt Θ des Bündels \begin{eqnarray}{\Lambda }^{2}{T}^{* }\otimes Hom\ (E,E)={\Lambda }^{2}{T}^{* }\otimes ({E}^{* }\otimes E).\end{eqnarray}

Wenn e = {e₁, …, e_n} ein Frame für E ist, dann kann man Θ ∈ A² (E^∗ ⊗ E) durch eine Matrix Θ_e von 2-Formen ausdrücken: D²e_i = ∑ Θ_ij ⊗ e_j; Θ_e nennt man die Krümmungs-Matrix von D, ausgedrückt durch den Frame. Für einen anderen Frame \(e^\prime_j=\sum g_{ij}e_j\) gilt \(D^2e^\prime_j=\sum g_{ij}\Theta_{jk}g^{-1}_{kl} e^\prime_l\), d. h. es gilt \begin{eqnarray}{\Theta }_{{e}^{\prime}}=g{\Theta }_{e}{g}^{-1}.\end{eqnarray}

Man kann die Krümmungs-Matrix folgendermaßen durch die Zusammenhangs-Matrix ϑ ausdrücken: D²e_i = D(∑ ϑ_ij ⊗ e_j), in Matrix-Notation: Θ_e = dϑ_e − ϑ_e ∧ ϑ_e. Diese Gleichung nennt man die Cartansche Struktur-Gleichung. Wenn E → M ein Hermitesches Vektorbündel und der Zusammenhang D von E mit der komplexen Struktur und der Metrik verträglich ist, dann ist die Krümmungs-Matrix des Hermiteschen Zusammenhangs eine Hermitesche Matrix von (1, 1)-Formen.