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Lexikon der Mathematik: Kruskal-Diagramm

Veranschaulichung einer Raum-Zeit in Kruskal-Koordinaten. Kruskal-Koordinaten sind dadurch definiert, daß die lichtartigen Geodäten stets einen Winkel von 45° zur Zeitachse bilden.

Eine zweidimensionale Raum-Zeit ist stets konform eben, d. h., bis auf einen Konformfaktor e2α ist ihre Metrik gleich der Metrik ds2 = 2dx2 der (1 + 1)-dimensionalen Minkowskischen Raum-Zeit. Die lichtartigen Geodäten haben hier die Gestalt xτ + x0, d. h., in der graphischen Veranschaulichung in der (τ, x)-Ebene sind das genau die Geraden, die mit der τ-Achse einen Winkel von 45° bilden. Da der Konformfaktor die lichtartigen Geodäten nicht ändert, gilt dies also auch für die ursprüngliche Metrik \begin{eqnarray}d{s}^{2}={e}^{2\alpha }(d{\tau }^{2}-d{x}^{2}).\end{eqnarray}

Eine Anwendung: Die kugelsymmetrische Vakuumlösung der Einsteinschen Gleichung, also die ein Schwarzes Loch beschreibende Schwarzschild-Lösung, lautet in Kruskal-Koordinaten \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}d{s}^{2} & = & \frac{32{m}^{3}}{r}{e}^{-r/(2m)}(d{\tau }^{2}-d{x}^{2})\\ & &-{r}^{2}(d{\psi }^{2}+{\sin }^{2}\psi d{\varphi }^{2}).\end{array}\end{eqnarray}

Für dieselbe Lösung in Schwarzschild-Koordinaten und ihre Interpretation vergleiche man das Stichwort Einstein-Hilbert-Wirkung.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Kruskal-Diagramm
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Kruskal-Diagramm der Schwarzschild-Lösung. Die beiden Winkelkoordinaten ψ und ϕ werden bei der Veranschaulichung unterdrückt.

Die Beziehung zu den Schwarzschild-Koordinaten t und r ergibt sich durch die Gleichungen \begin{eqnarray}{\tau }^{2}-{x}^{2}=\frac{1}{2m}(2m-r){e}^{r/(2m)},\frac{\tau }{x}=\tanh \frac{t}{4m}.\end{eqnarray}

Man sieht: Die Linie r = 2m, also der Horizont des Schwarzen Lochs, wird durch |x| = |τ | beschrieben, also Geraden, die mit der τ-Achse einen Winkel von 45° bilden, somit lichtartig sind. Die Singularität r = 0 wird im Kruskal-Diagramm durch die Gleichung τ2 = x2 + 1 beschrieben und stellt eine Hyperbel dar.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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