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Lexikon der Mathematik: Krylow-Raum-Verfahren

Verfahren zur iterativen Lösung linearen Gleichungssysteme Ax = b mit A ∈ ℝn×n und b ∈ ℝn.

Dabei wird, ausgehend von einem (beliebigen) Startvektor x(0), eine Folge von Näherungsvektoren x(k) an die gesuchte Lösung x gebildet. x(k) wird dazu so aus einem verschobenen Krylow-Raum {x(0)}+ 𝒦k(B, r(0)) gewählt, daß eine Bedingung der Art \begin{eqnarray}b-A{x}^{(k)}\perp \mathcal{L}_{k}\end{eqnarray}

für einen beliebigen k-dimensionalen Raum ℒk erfüllt ist. Dabei sei \begin{eqnarray}{{\mathcal{K}}}_{k}(B,{r}^{(0)})=Span\{{r}^{(0)},B{r}^{(0)},{B}^{2}{r}^{(0)},\ldots,{B}^{k-1}{r}^{(0)}\}\end{eqnarray}

und r(0) = bAx(0).

Die verschiedenen Versionen von Krylow-Raum-Verfahren unterscheiden sich in der Wahl der Matrix B und des k-dimensionalen Raums ℒk.

Für symmetrische positiv definite Matrizen A ist das Konjugierte Gradientenverfahren das beste Krylow-Raum-Verfahren. Für nichtsymmetrische oder symmtrische, aber nicht positiv definite Matrizen A existieren zahlreiche Krylow-Raum-Verfahren, z. B. das BiCG-Verfahren, das GMRES-Verfahren und das QMR-Verfahren.

Vorteil der Krylow-Raum-Verfahren ist, daß in der Berechnung die Matrix A unverändert bleibt; es werden nur Matrix-Vektor-Multiplikationen benötigt. Daher sind diese Verfahren besonders für Gleichungssysteme mit großen sparsen Koeffizientenmatrizen A geeignet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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