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Lexikon der Mathematik: kubische Resolvente

eine Gleichung dritten Grades, die einer Gleichung vierten Grades zugeordnet werden kann und es erlaubt, deren Nullstellen zu bestimmen.

Die normierte allgemeine Gleichung vierten Grades \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}{y}^{4}+{a}_{3}{y}^{3}+{a}_{2}{y}^{2}+{a}_{1}y+{a}_{0}=0\end{array}\end{eqnarray}

kann durch die Transformation \(y=x-\frac{1}{4}{a}_{3}\) auf die Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}{x}^{4}+p{x}^{2}+qx+r=0\end{array}\end{eqnarray}

transformiert werden. Die kubische Resolvente ist die Gleichung \begin{eqnarray}{z}^{3}-2p{z}^{2}+({p}^{2}-4r)z+{q}^{2}=0.\end{eqnarray}

Deren Lösungen z1, z2 und z3 können durch die Cardanischen Lösungsformeln bestimmt werden. Die Lösungen x1, x2, x3 und x4 der Gleichung (2) werden gegeben durch \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}2{x}_{1} & = & \sqrt{-{z}_{1}}+\sqrt{-{z}_{2}}+\sqrt{-{z}_{3}},\\ 2{x}_{2} & = & \sqrt{-{z}_{1}}-\sqrt{-{z}_{2}}-\sqrt{-{z}_{3}},\\ 2{x}_{3} & = &-\sqrt{-{z}_{1}}+\sqrt{-{z}_{2}}-\sqrt{-{z}_{3}},\\ 2{x}_{4} & = &-\sqrt{-{z}_{1}}-\sqrt{-{z}_{2}}+\sqrt{-{z}_{3}}.\end{array}\end{eqnarray}

Durch Rücktransformation erhält man eine Lösung von (1).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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