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Lexikon der Mathematik: Künneth-Formel

erlaubt die Berechung der Homologie des Tensorprodukts von Komplexen abelscher Gruppen durch die Homologie der Einzelkomplexe.

Es seien \({K}_{\bullet }=({K}_{i},{d}_{i}^{K})\) und \({L}_{\bullet }=({L}_{i},{d}_{i}^{L})\) Komplexe abelscher Gruppen, mindestens einer der Komplexe bestehe aus freien abelschen Gruppen. Dann existiert für die Homologiegruppen eine exakte Sequenz \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}0 & \to & \displaystyle \sum _{i+j=n}{H}_{i}({K}_{\bullet })\otimes {H}_{j}({L}_{\bullet })\to {H}_{n}({K}_{\bullet }\otimes {L}_{\bullet })\\ & \to & \displaystyle \sum _{i+j=n-1}Tor({H}_{i}({K}_{\bullet }),{H}_{j}({L}_{\bullet }))\text{}\to 0.\end{array}\end{eqnarray}

Hierbei ist das Tensorprodukt \begin{eqnarray}{K}_{\bullet }\otimes {L}_{\bullet }={({({K}_{\bullet }\otimes {L}_{\bullet })}_{n},{d}^{K\otimes L})}_{n\in {\mathbb{Z}}}\end{eqnarray}

der Komplexe definiert durch \begin{eqnarray}{({K}_{\bullet }\otimes {L}_{\bullet })}_{n}=\displaystyle \sum _{i+j=n}{K}_{i}\otimes {L}_{j}\end{eqnarray}

mit dem Differential dKL, das für klKiLj gegeben ist durch \begin{eqnarray}{d}^{K\otimes L}(k\otimes l)={d}^{K}(k)\otimes l+{(-1)}^{i}k\otimes {d}^{L}(l).\end{eqnarray}

Tor(A, B) bezeichnet die 1-Torsionsgruppe. Sie verschwindet, falls eine der Gruppen A oder B frei ist. Die obige Sequenz spaltet, die Spaltungsabbildung ist jedoch nicht kanonisch gegeben.

Die Künneth-Formel findet ihre Anwendung beispielsweise bei der Berechnung der singulären Homologie des Produkts zweier topologischer Räume. Nach dem Satz von Eilenberg-Zilber ist der Komplex der singulären Ketten des Produkts X × Y zweier topologischer Räume X und Y kanonisch homotopie-äquivalent zum Tensorprodukt der Komplexe singulärer Ketten von X und Y. Insbesondere stimmen die Homologiegruppen des Produkts mit den Homologiegruppen des Tensorprodukts überein. Letztere können mit Hilfe der Künneth-Formel berechnet werden.

Die Künneth-Formel gilt auch in einem allgemeineren Kontext, etwa wenn K und L Komplexe von Moduln über einem Hauptidealring sind, und einer der Komplexe nur aus flachen Moduln besteht.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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