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Lexikon der Mathematik: Kugelfläche

Fläche, die aus allen Punkten des ℝ3 besteht, die von einem festen Punkt M ∈ ℝ3 konstanten Abstand r haben, also die Oberfläche einer Kugel.

Eine parametrische Darstellung der Kugelfläche ergeben die räumlichen Polarkoordinaten: Ist M der Koordinatenursprung, so wird durch \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}x & = & r\cos \psi \cos \varphi, \\ y & = & r\cos \psi \sin \varphi, \\ z & = & r\sin \psi \end{array}\end{eqnarray}

für −π/2 ≤ ψπ/2 und 0 ≤ ϕ ≤ 2 π eine Kugelfläche beschrieben. Die Gaußsche Krümmung einer Kugelfläche hat den konstanten Wert 1/r2, und ihre mittlere Krümmung den konstanten Wert 1/r.

Eine Kugelfläche besteht nur aus Nabelpunkten. Durch diese Eigenschaft ist sie zusammen mit den Ebenen charakterisiert, denn es gilt der Satz:

Besteht eine Fläche \({\mathcal{F}}\) ⊂ ℝ3nur aus Nabelpunkten, so ist \({\mathcal{F}}\)eine offene Teilmenge einer Ebene oder einer Kugelfläche.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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