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Lexikon der Mathematik: Kugelloxodrome

Kurven auf der Kugel, die die Meridiane unter konstantem Winkel schneiden.

Ist γ(t) = Φ(ϑ(t), ϕ(t)) die Gaußsche Parameterdarstellung der Loxodrome in Polarkoordinaten \begin{array} (\Phi (\vartheta, \varphi)={(\sin \vartheta \cos \varphi, \sin \vartheta \sin \varphi, \cos \vartheta )}^{{\rm T}}\end{array}

auf einer Kugeloberfläche vom Radius 1, so sind ϑ(t) und ϕ(t) implizit durch die Gleichung \begin{eqnarray}\mathrm{log}\tan\,\left(\frac{\vartheta (t)}{2}\right)=\pm (\varphi (t)+c)\cot \beta \end{eqnarray}

gegeben, in der β der konstante Schnittwinkel ist und c eine Konstante, die durch einen beliebigen Punkt Φ(ϑ(t0), ϕ(t0)) der Kurve bestimmt wird.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Kugelloxodrome
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Kugelloxodrome

Setzt man ϕ(t) = t und u = e± tanβ(t+c), so erhält man die Parameterdarstellung \begin{eqnarray}{\lambda }_{c,\beta }(t)=\frac{2\,u}{1+{u}^{2}}\left(\begin{array}{c}\cos t\\ \sin t\\ \frac{1-{u}^{2}}{2u}\end{array}\right)\end{eqnarray}

der Kugelloxodrome.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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