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Lexikon der Mathematik: Kumulante

Semiinvariante, Kenngröße einer reellen Zufallsvariablen.

Ist X eine auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, \(\begin{eqnarray}{\mathfrak{U}}\end{eqnarray}\), P) definierte reelle Zufallsvariable mit charakteristischer Funktion φX, und existiert das n-te absolute Moment E(|X|n), so wird für k = 1,…, n die mit (−i)k multiplizierte Ableitung \({\psi }_{X}^{(k)}\) der sogenannten kumulantenerzeugenden Funktion ψX := ln φX an der Stelle Null, d. h. \begin{eqnarray}{(-i)}^{k}{\psi }_{X}^{(k)}(0),\end{eqnarray}

als Kumulante der Ordnung k von X bzw. der Verteilung von X bezeichnet.

Bei der Addition von unabhängigen Zufallsvariablen ist das k-te Moment der Summe i. allg. von der Summe der k-ten Momente der Summanden verschieden. Im Gegensatz dazu gilt für die Kumulanten: Sind X und Y unabhängige reelle Zufallsvariablen mit E(|X|k) < ∞ und E(|Y|k) < ∞, so ist die Kumulante der Ordnung k der Summe gleich der Summe der Kumulanten der Ordnung k von X und Y.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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