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Lexikon der Mathematik: Kurve zweiter Ordnung

Kurve zweiten Grades, Menge aller Punkte einer Ebene, deren Koordinaten bezüglich eines affinen Koordinatensystems eine quadratische Gleichung (Gleichung zweiten Grades) der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\begin{array}{l}{a}_{11}{x}^{2}+2{a}_{12}xy+{a}_{22}{y}^{2}+2{a}_{10}x\\ +2{a}_{20}y+{a}_{00}=0\end{array}\end{array}\end{eqnarray}

(mit a11, a12, a22, a10, a20 und a00 ∈ ℝ) erfüllen, wobei a11, a12 und a22 nicht zugleich Null sein dürfen. Die Gleichung (1) läßt sich auch in der Matrizenform \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{x}^{T}{\bf{A}}x+2{a}^{T}x+{a}_{00}=0\end{array}\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray}{\bf{A}}=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}\\ {a}_{12}{a}_{22}\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}{a}_{10}\\ {a}_{20}\end{array}\right)\text{und}x=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\end{eqnarray}

beziehungsweise \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\tilde{x}}^{T}\tilde{{\bf{A}}}\tilde{x}=0\end{array}\end{eqnarray}

mit \(\tilde{{\bf{A}}}={({a}_{ij})}_{i=0,1,2}^{j=0,1,2},{\tilde{{\bf{A}}}}^{T}=\tilde{{\bf{A}}}\) und \(\begin{eqnarray}\tilde{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ x\\ y\end{array}\right)\end{eqnarray}\) darstellen.

Anhand der Determinante der Matrix \(\tilde{{\bf{A}}}\) können die Kurven zweiter Ordnung in zwei Klassen eingeteilt werden. (Die Tatsache, ob det \(\tilde{{\bf{A}}}=0\) gilt, hängt nicht vom Koordinatensystem ab, da jede Matrix einer affinen Koordinatentransformation eine von Null verschiedene Determinante besitzt.)

Diejenigen Kurven zweiter Ordnung, für welche det \(\tilde{{\bf{A}}}\) von Null verschieden ist, sind die nicht entarteten Kurven zweiter Ordnung, also Ellipsen (bzw. im Spezialfall Kreise), Hyperbeln, und Parabeln, sowie die sogenannten nullteiligen Kurven (bei denen durch (1), (2) bzw. (3) keine Punkte mit reellen Koordinaten beschrieben werden).

Bei Kurven zweiter Ordnung mit det \(\tilde{{\bf{A}}}=0\) handelt es sich um die entarteten Kurven zweiter Ordnung: Doppelgeraden, Paare paralleler Geraden (die als Grenzfall zu einer einzigen Geraden zusammenfallen können) sowie einzelne Punkte.

Um welche der genannten Kurven es sich bei einer gegebenen Kurve zweiter Ordnung handelt, < ?PageNum _232läßt sich durch die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems mit Hilfe einer Hauptachsentransformation ermitteln.

Alle Kurven zweiter Ordnung mit reellen Koordinatenwerten der Punkte außer den Paaren paralleler Geraden sind Kegelschnitte; umgekehrt ist jeder Kegelschnitt eine Kurve zweiter Ordnung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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