Untersuchen der Eigenschaften reellwertiger, auf Teilmengen von ℝ definierter Funktionen f mit Mitteln der Analysis.

Dazu können zählen:

• Bestimmen des (maximalen) Definitionsbereichs und des Wertebereichs von f.
• Untersuchen von f auf Periodizität und Geradheit oder Ungeradheit oder sonstige Invarianzund Symmetrieeigenschaften (und damit Reduktion des zu untersuchenden Bereichs).
• Untersuchen von f auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit und ggf. Bestimmen der Ableitungen f, f′, f″.
• Berechnen der Funktionswerte von f an ausgewählten Stellen und Erstellen einer Wertetabelle.
• Bestimmen der Nullstellen von f und der Bereiche, wo f positiv bzw. negativ ist.
• Untersuchen des Monotonieverhaltens von f. Falls f differenzierbar ist, kann hierzu die Ableitung f′ herangezogen werden.
• Bestimmen lokaler und globaler Extremwerte von f. Auch hierzu kann f′ benutzt werden, wenn f differenzierbar ist.
• • Untersuchen des Krümmungsverhaltens von f, also Untersuchen von f auf Konvexität und Konkavität und damit Bestimmen der Wendepunkte. Ist f zweimal differenzierbar, kann hierzu die zweite Ableitung f″ betrachtet werden.
• Beschreiben des Grenzverhaltens von f an bestimmten Stellen (Unstetigkeitstellen, Lücken oder Rand des Definitionsbereichs).
• Bestimmen von Asymptoten von f und der Lage des Graphen von f relativ zu diesen.

Mittels der dabei über f gewonnenen Erkenntnisse kann zumeist eine Skizze des Graphen von f erstellt werden.

Ein einfaches Beispiel: Durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(x)=({x}^{2}+|x|){e}^{-|x|} & (x\in {\mathbb{R}})\end{array}\end{eqnarray}

wird eine Funktion f : ℝ → ℝ definiert. Da f gerade ist, genügt es, im folgenden x ≥ 0 zu betrachten: Nach den Differentiationsregeln ist f differenzierbar in (0, ∞) mit \begin{eqnarray}{f}{^{\prime} }(x)=(1+x-{x}^{2}){e}^{-x}\end{eqnarray}

für x > 0. Wegen \begin{eqnarray}\frac{1}{\varepsilon }(f(\varepsilon )-f(0))=-(\varepsilon +1){e}^{-\varepsilon }\to -1\end{eqnarray}

für ϵ ↓ 0 ist f an der Stelle 0 rechtsseitig differenzierbar mit \(\begin{eqnarray}{{f}{^{\prime} }}_{+}(0)=1\end{eqnarray}\). Da f gerade ist, folgt \(\begin{eqnarray}{{f}{^{\prime} }}_{-}(0)=-1\ne {{f}{^{\prime} }}_{+}(0)\end{eqnarray}\), d. h. f ist nicht differenzierbar an der Stelle 0. f′ ist als Ableitung einer geraden Funktion ungerade. Ferner ist f′ differenzierbar in (0, ∞) mit \begin{eqnarray}{f}{^{\prime\prime} }(x)=({x}^{2}-3x){e}^{-x}\end{eqnarray}

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für x > 0. f″ ist als Ableitung einer ungeraden Funktion gerade. Es gilt f(0) = 0 und f(x) > 0 für x > 0. Folglich hat f an der Stelle 0 ein strenges globales Minimum. Da P(x)e^−x → 0 (x → ∞) gilt für jedes Polynom P, hat man f(x) → 0 für x → ∞. Auflösen von f′(x) = 0 liefert \(x=\tau ={\scriptstyle \frac{1}{2}}(1+\sqrt{5})\). Wegen f″(τ ) = (1 − 2τ)e^−τ < 0 hat f an der Stelle τ ein strenges lokales Maximum. Dies ist das einzige und daher das globale Maximum von f in (0, ∞). Auflösen von f″(x) = 0 im Bereich (0, ∞) liefert x = 3. Für 0 < x < 3 ist f″(x) < 0, d. h. f streng konkav, und für x > 3 ist f″(x) > 0, d. h. f streng konvex. Daher hat f an der Stelle 3 einen Wendepunkt. Da f gerade ist, ist an der Stelle 0 kein Wendepunkt.