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Lexikon der Mathematik: Kurvenintegral

zu einer Kurve Γ mit Träger (Γ) ⊂ ℝn und Parametrisierung durch einen Weg γ ∈ Γ und zu einer Funktion f: (Γ) → R oder auch f: (Γ) → ℝn durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Gamma }f(x)dx:=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }f(x)dx\end{array}\end{eqnarray}

erklärte Größe, wobei \(\begin{eqnarray}{\int }_{y}f(x)\,\,dx\end{eqnarray}\) ein Wegintegral ist.

Eine Kurve Γ ist hier definiert als eine Äquivalenzklasse von Wegen γ, d. h. von auf abgeschlossenen Intervallen in ℝ definierten stetigen Funktionen mit Bildmenge (Γ), wobei zwei Wege γ1 : [a1, b1] → ℝn und γ2 : [a2, b2] → ℝn äquivalent heißen, geschrieben γ1γ2, wenn es eine streng isotone surjektive (und damit stetige und bijektive) Abbildung ϕ : [a1, b1] → [a2, b2] mit γ1 = γ2ϕ gibt. ϕ heißt (orientierungserhaltende) Parametertransformation. Jeden Repräsentanten γ ∈ Γ nennt man eine Parametrisierung oder Parameterdarstellung von Γ. Äquivalente Wege haben die gleiche Bildmenge, als Träger (Γ) der Kurve bezeichnet. Für manche Zwecke betrachtet man auch Äquivalenz bzgl. stückweise stetig differenzierbaren Parametertransformationen.

Definition (1) ist nur dann sinnvoll, wenn das (ℝn- bzw. ℝ-wertige) Wegintegral γf(x) dx existiert und unabhängig von der Wahl des Weges γ ∈ Γ ist. Setzt man f als stetig voraus, so ist dies unter in der Praxis meist gegebenen und im folgenden angenommenen Voraussetzungen wie Rektifizierbarkeit oder sogar stückweiser stetiger Differenzierbarkeit des Integrationsweges gewährleistet. Die Länge von Γ, auch Bogenlänge genannt, läßt sich dann über die Länge eines Weges γ ∈ Γ definieren als λ(Γ) := λ(γ). Damit gilt: \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Gamma }f(x)dx\right|\le \lambda (\Gamma )\mathop{\max }\limits_{x\in (\Gamma )}|f(x)|\end{eqnarray}

Ist γ stetig differenzierbar, so hat man \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Gamma }f(x)dx=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }f(x)dx=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\gamma (t)){\gamma }{^{\prime} }(t)dt\end{eqnarray}

und erhält die bessere Abschätzung \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Gamma }f(x)dx\right|=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(\gamma (t))||{\gamma }{^{\prime} }(t)|dt.\end{eqnarray}

Aus den Eigenschaften des Wegintegrals ergeben sich unmittelbar weitere Eigenschaften des Kurvenintegrals. So ist etwa auch das Kurvenintegral linear bzgl. des Integranden. Bezeichnet −Γ die durch den Weg γ : [−b,a] ∋ tγ (−t) ∈ ℝn parametrisierte „entgegengesetzt durchlaufene“ Kurve zu Γ, so gilt λ(−Γ) = λ(Γ) und \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{-\Gamma }f(x)dx=-\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Gamma }f(x)dx.\end{eqnarray}

Sind Γ1, Γ2 Kurven in ℝn mit Parametrisierungen γ1 : [a, c] → ℝn, γ2 : [c, b] → ℝn (solche Parametrisierungen kann man immer wählen), und ist γ1(c) = γ2(c), so gilt für die durch den Weg γ : [a, b] → Rn mit γ (t) = γ1(t) für atc und γ (t) = γ2(t) für c < t ≤ b parametrisierte „zusammengesetzte“ Kurve Γ1 + Γ2\begin{eqnarray}\lambda ({\Gamma }_{1}+{\Gamma }_{2})=\lambda ({\Gamma }_{1})+\lambda ({\Gamma }_{2})\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\Gamma }_{1}+{\Gamma }_{2}}f(x)dx=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\Gamma }_{1}}f(x)dx+\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\Gamma }_{2}}f(x)dx.\end{eqnarray}

Man beachte: Zuweilen wird eine Kurve anstatt als Äquivalenzklasse von Wegen einfach als eine als Bildmenge eines Weges darstellbare Teilmenge von ℝn definiert. Da dann mit γ auch γ eine Parametrisierung von Γ ist mit γf(x) dx = − γ f(x) dx, muß man sich bei diesem Vorgehen zumindest auf einen Durchlaufungssinn der Kurve festlegen. Dieser wird meist durch die Anwendung nahegelegt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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