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Lexikon der Mathematik: Kutta-Joukowski-Auftriebsformel

formal der Ausdruck K = μvΓ für den Betrag der Kraft, die auf einen Ring der Breite Eins eines langen, zylinderförmigen Gegenstandes von einer inkompressiblen (inkompressible Flüssigkeit) stationären ebenen reibungsfreien Potentialströmung ausgeübt wird, wenn er quer zur in großer Entfernung konstanten Anströmgeschwindigkeit \(\begin{eqnarray}{{\mathfrak{v}}}_{\infty }\end{eqnarray}\) liegt. μ ist hierbei die Dichte der Flüssigkeit und \(\begin{eqnarray}\Gamma :=\displaystyle \oint {\mathfrak{v}}d{\mathfrak{s}}\end{eqnarray}\) die Zirkulation (Integral der Strömungsgeschwindigkeit \(\begin{eqnarray}{{\mathfrak{v}}}\end{eqnarray}\) über einen geschlossenen Umlauf um den zylinderförmigen Körper).

Die Kraft steht senkrecht auf der durch \(\begin{eqnarray}{{\mathfrak{v}}}_{\infty }\end{eqnarray}\) gegebenen Richtung.

Die Aussagen über die Kraft bilden den Inhalt des Kutta-Joukowski-Theorems. Insbesondere < ?PageNum _236wirkt keine Kraftkomponente in Richtung der Antrömgeschwindigkeit \(\begin{eqnarray}{{\mathfrak{v}}}_{\infty }\end{eqnarray}\) (induzierter Widestand der Aerodynamik). Für verschwindende Zirkulation wirkt keine Kraft. Unter den angenommenen Voraussetzungen könnte also in der Strömung ein Körper ohne Arbeitsleistung bewegt werden (es kommt ja nur auf die Relativgeschwindigkeit an). Die allgemeine, der Erfahrung wider-sprechende Aussage, daß ein gleichförmig durch eine Flüssigkeit bewegter Körper keinen Widerstand erfährt, weil sich die Drucke auf die Vorderund Rückseite kompensieren, ist unter dem Namen d’Alembertsches Paradoxon bekannt.

Für eine Potentialströmung ergibt sich die Geschwindigkeit als Gradient eines Potentials Φ, das unter den obigen Voraussetzungen Lösung der (ebenen) Laplace-Gleichung ist. Damit ist überall \(\begin{eqnarray}\text{rot}{\mathfrak{v}}=0\end{eqnarray}\), bis auf singuläre Punkte oder Linien. Die von Null verschiedene Zirkulation ergibt sich beim Abriß der Grenzschicht, die sich aufgrund der Reibung zwischen der Flüssigkeit und dem umströmtem Körper in seiner unmittelbaren Umgebung ausbildet. In ihr fällt die Strömungsgeschwindigkeit schnell auf Null ab.

Hat der umströmte Körper hinten eine scharfe Kante (Tragfläche eines Flugzeuges), dann liegt der Abriß auf dieser Kante (Joukowski-Bedingung). Hinter dem Körper bildet sich ein Wirbel aus (Anfahrwirbel). Da die Strömung in großer Entfernung als wirbelfrei vorausgesetzt wird, muß ein zweiter Wirbel mit entgegengesetztem Drehsinn entstehen, dieser zweite Wirbel führt auf die Beziehung Γ ≠ 0.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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