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Lexikon der Mathematik: L-R-Fuzzy-Intervall

ein Fuzzy-Intervall \(\tilde{M}\), dessen Zugehörigkeitsfunktion sich mit geeigneten Referenzfunktionen L und R darstellen läßt als \begin{eqnarray}{\mu }_{M}(x)=\left\{\begin{array}{cl}L(\frac{{m}_{1}-x}{\alpha }) & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,x\le {m}_{1},\\ 1 & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,{m}_{1}\lt x\le {m}_{2},\\ R(\frac{x-{m}_{2}}{\beta }) & \text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,{m}_{2}\lt x,\end{array}\right.\end{eqnarray} wobei m1 < m2 und α, β ≥ 0. Für ein L-R-Fuzzy-Intervall soll die verkürzte Notation \begin{eqnarray}\tilde{M}={({m}_{1};{m}_{2};\alpha; \beta )}_{LR}\end{eqnarray} verwendet werden.

Aufgrund des Kurvenverlaufs von μN wird \(\tilde{N}\) als trapezförmige Fuzzy-Menge bezeichnet.

Mit den Symbolen \(m=\frac{{m}_{1}+{m}_{2}}{2}\) und \(c=\frac{{m}_{2}-{m}_{1}}{2}\) läßt sich \(\tilde{M}={({m}_{1};{m}_{2};\alpha; \beta )}_{LR}\) auch eindeutig durch \(\tilde{M}={(m;c;\alpha; \beta )}_{LR}\) abkürzen.

Die Bedeutung von L-R-Fuzzy-Intervallen liegt darin, daß die arithmetischen Rechenoperationen besonders einfach durchzuführen sind, wenn es sich um Fuzzy-Mengen mit den passenden Referenzfunktionen handelt (Fuzzy-Arithmetik).

Für positive Fuzzy-Intervalle \(\tilde{M}={({m}_{1};{m}_{2};\alpha; \beta )}_{LR}\) und \(\tilde{N}={({n}_{1};{n}_{2};\gamma; \delta )}_{LR}\) gelten u.a. die folgenden Berechnungsformeln; für den Fall, daß \(\tilde{M}\) oder \(\tilde{N}\) negativ sind, lassen sich ähnliche Formeln angeben.

Erweiterte Addition \(\tilde{M}\oplus \tilde{N}\)\begin{eqnarray}\begin{array}{l}{({m}_{1};{m}_{2};\alpha; \beta )}_{LR}\oplus {({n}_{1};{n}_{2};\gamma; \delta )}_{LR}\\ \,\,\,\,={({m}_{1}+{n}_{1};{m}_{2}+{n}_{2};\alpha +\gamma; \beta +\delta )}_{LR}.\end{array}\end{eqnarray}

Negatives Fuzzy-Intervall –\(\tilde{N}\): \begin{eqnarray}-\tilde{N}=-{({n}_{1};{n}_{2};\gamma; \delta )}_{LR}={(-{n}_{2};-{n}_{1};\delta; \gamma )}_{RL}.\end{eqnarray}

Erweiterte Subtraktion \(\tilde{M}\ominus \tilde{N}\): \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{({m}_{1};{m}_{2};\alpha; \beta )}_{LR}\ominus {({n}_{1};{n}_{2};\gamma; \delta )}_{LR}\\ \,\,\,\,={({m}_{1}-{n}_{2};{m}_{2}-{n}_{1};\alpha +\delta; \beta +\gamma )}_{LR}.\end{array}\end{eqnarray}

Multiplikation mit einem Skalar λ ∈ ℝ:

Für λ > 0 gilt \begin{eqnarray}\lambda \cdot {({m}_{1};{m}_{2};\alpha; \beta )}_{LR}={(\lambda {m}_{1};\lambda {m}_{2};\lambda \alpha; \lambda \beta )}_{LR}.\end{eqnarray}

Für λ < 0 gilt \begin{eqnarray}\lambda \cdot {({m}_{1};{m}_{2};\alpha; \beta )}_{LR}={(\lambda {m}_{2};\lambda {m}_{1};-\lambda \beta; -\lambda \alpha )}_{RL}.\end{eqnarray}

Erweiterte Multiplikation \(\tilde{M}\odot \tilde{N}\): \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{({m}_{1};{m}_{2};\alpha; \beta )}_{LR}\odot {({n}_{1};{n}_{2};\gamma; \delta )}_{LR}\\ \,\,\,\,\approx {({m}_{1}{n}_{1};{m}_{2}{n}_{2};{m}_{1}\gamma +{n}_{1}\alpha; {m}_{2}\delta +{n}_{2}\beta )}_{LR},\\ {({m}_{1};{m}_{2};\alpha; \beta )}_{LR}\odot {({n}_{1};{n}_{2};\gamma; \delta )}_{LR}\\ \,\,\,\,\approx {({m}_{1}{n}_{1};{m}_{2}{n}_{2};{m}_{1}\gamma +{n}_{1}\alpha -\alpha \gamma; {m}_{2}\delta +{n}_{2}\beta +\beta \delta )}_{LR}.\end{array}\end{eqnarray}

Inverse eines Fuzzy-Intervalls \(\tilde{M}={({m}_{1};\,{m}_{2};\alpha; \beta )}_{LR}\): \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{\tilde{M}}^{-1}\approx {(\frac{1}{{m}_{2}};\frac{1}{{m}_{1}};\frac{\beta }{{m}_{2}^{2}};\frac{\alpha }{{m}_{1}^{2}})}_{RL},\\ {\tilde{M}}^{-1}\approx {(\frac{1}{{m}_{2}};\frac{1}{{m}_{1}};\frac{\beta }{{m}_{2}({m}_{2}+\beta )};\frac{\alpha }{{m}_{1}({m}_{1}-\alpha )})}_{RL}.\end{array}\end{eqnarray}

Erweiterte Division \(\tilde{N}\oslash \tilde{M}\)\begin{eqnarray}\begin{array}{l}{({n}_{1};{n}_{2};\gamma; \delta )}_{LR}\oslash {({m}_{1};{m}_{2};\alpha; \beta )}_{RL}\\ \,\,\,\approx {(\frac{{n}_{1}}{{m}_{2}};\frac{{n}_{2}}{{m}_{1}};\frac{{n}_{1}\beta +{m}_{2}\gamma }{{m}_{2}^{2}};\frac{{n}_{2}\alpha +{m}_{1}\delta }{{m}_{1}^{2}})}_{LR},\\ {({n}_{1};{n}_{2};\gamma; \delta )}_{LR}\oslash {({m}_{1};{m}_{2};\alpha; \beta )}_{RL}\\ \,\,\,\approx {(\frac{{n}_{1}}{{m}_{2}};\frac{{n}_{2}}{{m}_{1}};\frac{{n}_{1}\beta +{m}_{2}\gamma }{{m}_{2}({m}_{2}+\beta )};\frac{{n}_{2}\alpha +{m}_{1}\delta }{{m}_{1}({m}_{1}-\alpha )})}_{LR}.\end{array}\end{eqnarray}

Für die Erweiterung der Multiplikation, der Inversenbildung und der Division existieren nur Näherungsformeln, wobei jeweils die erste Formel eine gute Näherung für hohe und die zweite Formel eine gute Näherung für kleine Zugehörigkeitswerte darstellt.

Die obigen Formeln lassen erkennen, daß die Anwendung einer erweiterten Operation i. allg. zu einem Fuzzy-Intervall führt, das „fuzzier“ als die beiden Ausgangszahlen ist. Dies kann dann zum Problem führen, wenn die erweiterte Addition oder die erweiterte Multiplikation mehrfach angewendet werden.

Flexiblere erweiterte Operationen lassen sich formulieren, wenn im Erweiterungsprinzip der Minimum-Operator durch die parameterabhängige T-Norm ersetzt wird.

Für trapezförmige Fuzzy-Intervalle \(\tilde{M}={({m}_{1};\,{m}_{2};\alpha; \beta )}_{LR}\) und \(\tilde{N}={({n}_{1};\,{n}_{2};\gamma; \delta )}_{LR}\) mit \begin{eqnarray}L(u)=R(u)=\max (0,1-u)\end{eqnarray} gilt dann \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\tilde{M}\oplus \tilde{N}={({m}_{1}+{n}_{1};{m}_{2}+{n}_{2};{({\alpha }^{q}+{\gamma }^{q})}^{\frac{1}{q}};{({\beta }^{q}+{\delta }^{q})}^{\frac{1}{q}})}_{LR},\,\,\text{und}\\ \tilde{M}\odot \tilde{N}=({m}_{1}{n}_{1};{m}_{2}{n}_{2};{{({({m}_{1}\gamma )}^{q}+{({n}_{1}\alpha )}^{q})}^{\frac{1}{q}};{({({m}_{2}\delta )}^{q}+{({n}_{2}\beta )}^{q})}^{\frac{1}{q}})}_{LR},\end{array}\end{eqnarray} wobei q ≥ 1 so, daß \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\).

Während die 1-Niveau-Ebene nicht durch die Wahl des Parameters q beeinflußt wird, ändern sich die Spannweiten mit p.

Da für p → +∞, d. h. für q = 1, die Yagersche T-Norm Tp in den min-Operator übergeht, erhält man die üblichen Formeln für die erweiterte Addition bzw. die erweiterte Multiplikation.

Im anderen Extremfall, d. h. für p = 1 und q → +∞, entspricht \begin{eqnarray}{T}_{1}({\mu }_{M}(x),{\mu }_{N}(y))=\max (0,{\mu }_{M}(x)+{\mu }_{N}(y)-1)\end{eqnarray} der beschränkten Differenz unscharfer Mengen. Die Spannweiten erhalten dann für die erweiterte Addition die Form \begin{eqnarray}\begin{array}{lcr}{({\alpha }^{q}+{\gamma }^{q})}^{\frac{1}{q}}=\max (\alpha,\gamma )\,\,\,\,\,\text{und}\\ {({\beta }^{q}+{\delta }^{q})}^{\frac{1}{q}}=\max (\beta,\delta ),\end{array}\end{eqnarray} und für die erweiterte Multiplikation die Form \begin{eqnarray}{({({m}_{1}\gamma )}^{q}+{({n}_{1}\alpha )}^{q})}^{\frac{1}{q}}=\max ({m}_{1}\gamma,{n}_{2}\alpha ),\\ {({({m}_{2}\delta )}^{q}+{({n}_{1}\beta )}^{q})}^{\frac{1}{q}}=\max ({m}_{2}\delta,{n}_{1}\beta ).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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