Approximation hinsichtlich der L₂-Norm.

Als L₂-Approximation bezeichnet man einen Teilbereich der Approximationstheorie, welcher als Beispiel für die Approximation in Hilberträumen auftritt. Der Raum

\begin{eqnarray}\begin{array}{L}_{2}[a,b]=\{f:[a,b]\mapsto {\mathbb{R}}:f\, {\rm{Lebesgue\,me}\rm{\unicode{x00DF}}\rm{bar}} \\ \rm{und}\,\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{(f(t))}^{2}dt\lt \infty \},\end{array}\end{eqnarray}

zusammen mit dem Skalarprodukt (.,.) : L₂[a, b]× L₂[a, b] ↦ ℝ, definiert durch

\begin{eqnarray}({f}_{1},{\quad}{f}_{2}){\quad}=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{1}(t){f}_{2}(t)dt,{\quad}{f}_{1},{\quad}{f}_{2}\in {L}_{2}[a,{\quad}b]{\quad},\end{eqnarray}

bildet einen (reellen) Hilbertraum. In Hilberträumen ℋ wird durch

\begin{eqnarray}\Vert f\Vert ={(f,f)}^{\frac{1}{2}},f\in {\mathcal H}, \end{eqnarray}

eine Norm induziert. Für einen Teilraum 𝒢 von ℋ heißt g_f ∈ G beste Approximation an f ∈ ℋ (hinsichtlich ∥.∥), falls gilt:

\begin{eqnarray}\Vert f-{g}_{f}\Vert \le \Vert f-g\Vert \end{eqnarray}

für alle g ∈ 𝒢. In Hilberträumen ist das Parallelogramm-Gesetz

\begin{eqnarray}{\Vert f+g\Vert }^{2}+{\Vert f-g\Vert }^{2}=2{\Vert f\Vert }^{2}+2{\Vert g\Vert }^{2},f,g\in {\mathcal H} \end{eqnarray}

gültig, und damit sind diese strikt konvex, d. h. \begin{eqnarray}\Vert f+g\Vert \lt 2,\text{falls}f,g\in {\mathcal H} \text{,}f\ne g,\Vert f\Vert =\Vert g\Vert =1.\end{eqnarray}

Ist 𝒢 ein endlich-dimensionaler Teilraum von ℋ, existiert somit für jedes f ∈ ℋeine eindeutige beste Approximation g_f ∈ 𝒢. Dies folgt aus der entsprechenden etwas allgemeineren Aussage hinsichtlich der Approximation in endlich-dimensionalen Teilräumen von strikt konvexen normierten Räumen. Die beste Approximation g_f ∈ 𝒢 an f ∈ ℋ läßt sich in dem obigen Fall durch die Orthogonalitätsrelation

\begin{eqnarray}(f-{g}_{f},g)=0,{\quad}g\in {\mathscr{G}},\end{eqnarray}

charakterisieren. Wird 𝒢 von den Basiselementen g₁, …, g_n aufgespannt, so kann man somit \({g}_{f}=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{a}_{i}{g}_{i}\) berechnen, indem man das folgende lineare Gleichungssystem löst:

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a}_{i}({g}_{i},{g}_{j})=(f,{g}_{j}),j=1,\mathrm{...},n.\end{eqnarray}

Die hierbei auftretende Matrix

\begin{eqnarray}A={(({g}_{i},{g}_{j}))}_{i,j=1,\mathrm{...},n.}\end{eqnarray}

wird Gramsche Matrix genannt.