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Lexikon der Mathematik: Länge einer Kurve

Kurvenlänge, zu einer Kurve ℭ mit Träger (ℭ) ⊂ ℝn und einer Parametrisierung s ∈ ℭ durch \begin{eqnarray}\lambda (\mathfrak{C}):=\ell (s)\end{eqnarray}

erklärte Größe, wobei (s) die Länge des Weges (Länge eines Weges) s ist. Ist λ(ℭ) < ∞, so heißt ℭ rektifizierbar. Eine Kurve ℭ ist hierbei definiert als eine Äquivalenzklasse von Wegen s, d. h. von auf kompakten Intervallen in ℝ definierten stetigen Funktionen mit Bildmenge (ℭ), wobei zwei Wege s1 : [a1, b1] → ℝn und s2 : [a2, b2] → ℝn äquivalent heißen, wenn es eine streng isotone surjektive (und damit stetige und bijektive) Abbildung φ : [a1, b1] → [a2, b2] mit s1 = s2φ gibt. φ heißt (orientierungserhaltende) Parametertransformation. Jeden Repräsentanten s ∈ ℭ nennt man eine Parametrisierung oder Parameterdarstellung von ℭ. Äquivalente Wege haben die gleiche Bildmenge, als Träger (ℭ) der Kurve bezeichnet, und die gleiche Länge, so daß λ(ℭ) wohldefiniert ist. Man geht von einer vorgegebenen Norm ∥ ∥ auf dem ℝn – meist der euklidischen – aus. Als Zielbereiche können (statt ℝn) auch beliebige Banachräume zugelassen werden. (Gelegentlich betrachtet man auch Äquivalenz bezüglich stückweise stetig differenzierbarer Parametertransformationen.)

Ist ein s ∈ ℭ stetig differenzierbar, so hat man \begin{eqnarray}\lambda (\mathfrak{C})=\ell (s)=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\|{s}^{^{\prime} }(t)\|dt.\end{eqnarray}

Bezeichnet −ℭ die durch den Weg [−b, −a] ∋ ts(−t) ∈ ℝn parametrisierte, entgegengesetzt durchlaufene‘ Kurve zu ℭ, so gilt \begin{eqnarray}\lambda (-\mathfrak C)=\lambda (\mathfrak C).\end{eqnarray}

Sind ℭ1, ℭ2 Kurven in ℝn mit Parametrisierungen s1 : [a, c] → ℝn, s2 : [c, b] → ℝn (solche Parametrisierungen kann man immer wählen), und ist s1(c) = s2(c), also der Endpunkt von ℭ1 gleich dem Anfangspunkt von ℭ2, so gilt für die durch den Weg s : [a, b] → ℝn mit s(t) = s1(t) für atc und s(t) = s2(t) für c < t ≤ b parametrisierte, zusammengesetzte‘ Kurve ℭ1 + ℭ2\begin{eqnarray}\lambda ({\mathfrak C}_{1}+{\mathfrak C}_{2})=\lambda ({\mathfrak C}_{1})+\lambda ({\mathfrak C}_{2}).\end{eqnarray}

Man beachte: Zuweilen wird eine Kurve anstatt als Äquivalenzklasse von Wegen als eine als Bildmenge eines Weges darstellbare Teilmenge von ℝn definiert. Dabei geht man implizit davon aus, daß der Weg aus dem Zusammenhang heraus klar ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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