Kurvenlänge, zu einer Kurve ℭ mit Träger (ℭ) ⊂ ℝⁿ und einer Parametrisierung s ∈ ℭ durch \begin{eqnarray}\lambda (\mathfrak{C}):=\ell (s)\end{eqnarray}

erklärte Größe, wobei ℓ(s) die Länge des Weges (Länge eines Weges) s ist. Ist λ(ℭ) < ∞, so heißt ℭ rektifizierbar. Eine Kurve ℭ ist hierbei definiert als eine Äquivalenzklasse von Wegen s, d. h. von auf kompakten Intervallen in ℝ definierten stetigen Funktionen mit Bildmenge (ℭ), wobei zwei Wege s₁ : [a₁, b₁] → ℝⁿ und s₂ : [a₂, b₂] → ℝⁿ äquivalent heißen, wenn es eine streng isotone surjektive (und damit stetige und bijektive) Abbildung φ : [a₁, b₁] → [a₂, b₂] mit s₁ = s₂ ◦ φ gibt. φ heißt (orientierungserhaltende) Parametertransformation. Jeden Repräsentanten s ∈ ℭ nennt man eine Parametrisierung oder Parameterdarstellung von ℭ. Äquivalente Wege haben die gleiche Bildmenge, als Träger (ℭ) der Kurve bezeichnet, und die gleiche Länge, so daß λ(ℭ) wohldefiniert ist. Man geht von einer vorgegebenen Norm ∥ ∥ auf dem ℝⁿ – meist der euklidischen – aus. Als Zielbereiche können (statt ℝⁿ) auch beliebige Banachräume zugelassen werden. (Gelegentlich betrachtet man auch Äquivalenz bezüglich stückweise stetig differenzierbarer Parametertransformationen.)

Ist ein s ∈ ℭ stetig differenzierbar, so hat man \begin{eqnarray}\lambda (\mathfrak{C})=\ell (s)=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\|{s}^{^{\prime} }(t)\|dt.\end{eqnarray}

Bezeichnet −ℭ die durch den Weg [−b, −a] ∋ t ↦ s(−t) ∈ ℝⁿ parametrisierte, entgegengesetzt durchlaufene‘ Kurve zu ℭ, so gilt \begin{eqnarray}\lambda (-\mathfrak C)=\lambda (\mathfrak C).\end{eqnarray}

Sind ℭ₁, ℭ₂ Kurven in ℝⁿ mit Parametrisierungen s₁ : [a, c] → ℝⁿ, s₂ : [c, b] → ℝⁿ (solche Parametrisierungen kann man immer wählen), und ist s₁(c) = s₂(c), also der Endpunkt von ℭ₁ gleich dem Anfangspunkt von ℭ₂, so gilt für die durch den Weg s : [a, b] → ℝⁿ mit s(t) = s₁(t) für a ≤ t ≤ c und s(t) = s₂(t) für c < t ≤ b parametrisierte, zusammengesetzte‘ Kurve ℭ₁ + ℭ₂\begin{eqnarray}\lambda ({\mathfrak C}_{1}+{\mathfrak C}_{2})=\lambda ({\mathfrak C}_{1})+\lambda ({\mathfrak C}_{2}).\end{eqnarray}

Man beachte: Zuweilen wird eine Kurve anstatt als Äquivalenzklasse von Wegen als eine als Bildmenge eines Weges darstellbare Teilmenge von ℝⁿ definiert. Dabei geht man implizit davon aus, daß der Weg aus dem Zusammenhang heraus klar ist.