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Lexikon der Mathematik: längentreue lineare Abbildung

orthogonale lineare Abbildung, eine lineare Abbildung, die Skalarprodukte (und damit insbesondere Längen) nicht ändert.

Gegeben seien Vektorräume V und W mit Skalarprodukten ⟨.,.⟩V, ⟨.,.⟩W, über dem Körper ℝ oder ℂ. Eine lineare Abbildung φ : VW heißt längentreu, falls

\begin{eqnarray}{\langle \phi ({\upsilon }_{1}),\phi ({\upsilon }_{2})\rangle }_{W}={\langle {\upsilon }_{1},{\upsilon }_{2}\rangle }_{V}\end{eqnarray}

für alle ν1, ν2V. Äquivalent hierzu ist die Forderung

\begin{eqnarray}{\langle \phi (\upsilon ),\phi (\upsilon )\rangle }_{W}={\langle \upsilon, \upsilon \rangle }_{V}\end{eqnarray}

für alle νV. Ist speziell V = W und ⟨.,.⟩V = ⟨.,.⟩W, so nennt man eine längentreue lineare Abbildung auch orthogonale Selbstabbildung (für Vektorräume über ℝ), bzw unitäre Selbstabbildung (für Vektorräume über ℂ).

Für endlichdimensionale Vektorräume V können sie bezüglich einer orthonormalen Basis durch die orthonormalen Matrizen (im reellen Fall) bzw. die unitären Matrizen (im komplexen Fall) gegeben werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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