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Lexikon der Mathematik: Längenverzerrung

eine Invariante von Abbildungen f : ℱ → ℱ zweier Flächen ℱ, ℱ ⊂ ℝ3.

Die Längenverzerrung von f in einem Punkt x ∈ ℱ ist die Funktion λ, die jedem Tangentialvektor 𝔱 ∈ Tx(ℱ) das Verhältnis seiner Länge zur Länge seines Bildvektors f(𝔱) in der Tangentialebene Tf(x)(ℱ) zuordnet.

Wir setzen voraus, daß f lokal umkehrbar ist. Sind Φ(u1, u2) und \({\Phi }^{* }({u}_{1}^{* },{u}_{2}^{* })\) Parameterdarstellungen von ℱ bzw. ℱ, die auf den Gebieten U bzw U des ℝ2 definiert sind, so existiert lokal eine Abbildung f̃ : UU mit f о Φ = Φ о f̃. Die durch

\begin{eqnarray}\tilde{f}({u}_{1},{u}_{2})=({u}_{1}^{* }({u}_{1},{u}_{2}),{u}_{2}^{* }({u}_{1},{u}_{2}))\end{eqnarray}

gegebenen Funktionen \({u}_{1}^{* }\) und \({u}_{2}^{* }\) heißen Koordinatendarstellung von f.

Dann sind die Koeffizienten \({\bar{g}}_{ij}^{* }\) der ersten Gaußschen Fundamentalform von ℱ in der Parameterdarstellung f о Φ von ℱ durch

\begin{eqnarray}{\bar{g}}_{ij}^{* }=\left\langle \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial {u}_{i}},\frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial {u}_{j}}\right\rangle \end{eqnarray}

gegeben, und es besteht der folgende Zusammenhang zwischen den \({\bar{g}}_{ij}^{* }\) und den Koeffizienten \({g}_{ij}^{* }\) der ersten Fundamentalform von ℱ in der ursprünglichen Parameterdarstellung Φ:

\begin{eqnarray}{\bar{g}}_{ij}^{* }=\displaystyle \sum _{r,s=1}^{2}{g}_{rs}^{* }\frac{\partial {u}_{r}^{* }}{\partial {u}_{i}},\frac{\partial {u}_{s}^{* }}{\partial {u}_{j}}.\end{eqnarray}

Sind (t1, t2) die Koeffizienten von 𝔱, so gilt

\begin{eqnarray}\lambda (f)=\sqrt{\displaystyle \sum _{ij}^{2}{\bar{g}}_{ij}^{* }{t}_{i}{t}_{i}}.\end{eqnarray}

Betrachtet man λ als Funktion auf der Menge Sx der Tangentialvektoren 𝔱 der Länge 1 im Punkt x, so ist λ2(𝔱) entweder konstant, oder hat zwei positive Extremwerte \({\lambda }_{1}^{2}\) und \({\lambda }_{2}^{2}\). Diese heißen Hauptverzerrungen von f im Punkt x. Sie sind Lösungen der Gleichung

\begin{eqnarray}g{\lambda }^{4}-\frac{{\lambda }^{2}}{g}\left({g}_{11}{\bar{g}}_{22}^{* }+{g}_{22}{\bar{g}}_{11}^{* }-2{g}_{12}{\bar{g}}_{21}^{* }\right)+\frac{{\bar{g}}^{* }}{g}\end{eqnarray}

mit \(\bar{g}=\det ({\bar{g}}_{ij}^{* })\) und g = det (gij).

Die Vektoren 𝔱1 und 𝔱2 von Sx, in denen λ2 diese Extremwerte annimmt, stehen aufeinander senkrecht. Die durch sie bestimmten Richtungen heißen Hauptverzerrungsrichtungen.

[1] Klotzek, B.: Einführung in die Differentialgeometrie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1981.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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