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Lexikon der Mathematik: Lagrange-Interpolation

klassische Interpolationsmethode, bei der eine stetige Funktion durch eine endliche Menge von Werten eindeutig festgelegt wird.

Lagrange-Interpolation wird in der Numerischen Mathematik und der Approximationstheorie behandelt.

Es sei G ={g0, g1, …, gN} ein System von N + 1 linear unabhängigen, stetigen, reell- oder komplexwertigen Funktionen, definiert auf einem Intervall [a, b], einem Gebiet G ⊂ ℂ, oder einem Kreis T. Weiter sei X ={x0, …, xN} eine Menge von N + 1 Punkten aus [a, b], bzw. T, mit der Eigenschaft x0 < … < xN. Das Problem der Lagrange-Interpolation hinsichtlich G und X besteht nun darin, für reelle Werte ci, i = 0, …, N, eine eindeutige Funktion \begin{eqnarray}g=\displaystyle \sum _{j=0}^{N}{a}_{j}{g}_{j}\end{eqnarray}

mit der Eigenschaft \begin{eqnarray}g({x}_{i})={c}_{i},\space \text{}i=0,\ldots, N,\end{eqnarray}

zu finden. Falls für beliebige ci stets eine solche Funktion g existiert, so ist das Problem der Lagrange-Interpolation hinsichtlich G und X lösbar. X heißt in diesem Fall Lagrange-Interpolationsmenge für G.

Verallgemeinerungen der Lagrange-Interpolation, bei denen neben den Funktionswerten von g auch gewisse Ableitungen vorgeschrieben werden, nennt man Hermite-Interpolation bzw. Birk-hoff-Interpolation.

Bei der Lagrange-Interpolation spielen strukturelle Eigenschaften des zugrundeliegenden Systems G ein Rolle. Es ist bekannt, daß das Problem der Lagrange-Interpolation genau dann für jede beliebige Wahl von X lösbar ist, wenn G ein Tschebyschew-System bildet. Ein solches System G bilden beispielsweise die Polynome vom Grad N, \begin{eqnarray}G=\{1,x,\ldots, {x}^{N}\}.\end{eqnarray}

In diesem Fall läßt sich für jedes vorgegebene X und beliebig vorgegebene Werte ci das Interpolationspolynom g in der Lagrange-Darstellung \begin{eqnarray}g(x)=\displaystyle \sum _{i=0}^{N}{c}_{i}{l}_{N,i}(x),x\in [a,b]\end{eqnarray}

angeben. Hierbei sind die Lagrange-Polynome (auch Lagrange-Fundamentalpolynome oder Lagrangesche Grundpolynome genannt) lN,i definiert durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{l}_{N,i}(x)=\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^{N}\frac{x-{x}_{j}}{{x}_{i}-{x}_{j}},i=0,\ldots, N. \end{array}\end{eqnarray}

Es gilt offenbar \begin{eqnarray}{l}_{N,i}({x}_{k})=\left\{\begin{array}{cc}1, & \text{falls}\space i=k\\ 0, & \text{falls}\space i\ne k.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Die Lagrange-Polynome sind daher linear unabhängig. Sie hängen nur von den xi, nicht von den ci ab.

Man faßt diese Tatsache im klassischen Interpolationssatz von Lagrange zusammen:

Es seien N + 1 ∈ ℕ verschiedene Punkte x0,…,xN ausoderund N + 1 beliebige Zahlen c0,…,cN gegeben. Dann existiert genau ein Polynom p vom Grad höchstens N derart, daß p(xi) = ci für i = 1,…,N. Dieses Polynom besitzt die Darstellung \begin{eqnarray}p(z)=\displaystyle \sum _{i=0}^{N}{c}_{i}{l}_{N,i}(x)\end{eqnarray}

mit den durch (1) definierten Lagrange-Polynomen lN,i.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Lagrange-Interpolation
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Das Polynom l4,1 für x0 = −1, x1 = −0.5, x2 = 0, x3 = 0.5, x4 = 1.

Ein Maß für die Güte des Approximationsverhaltens des Interpolationspolynoms auf einem Intervall [a, b] ist die Lebesgue-Konstante \begin{eqnarray}{L}_{N}:=\max \left\{\displaystyle \sum _{i=0}^{N}|{l}_{i}(x)|:x\in [a,b]\right\}.\end{eqnarray}

Wählt man beispielsweise äquidistante Punkte, d. h. xi+1xi = const, so ist die Lebesgue-Konstante recht groß, was sich im allgemeinen negativ auswirkt. Andererseits ist bekannt, daß eine gute Wahl der Menge X durch die sogenannten Tschebyschew-Punkte \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}{x}_{i} & = & \cos ({\scriptstyle \frac{2(N-i)+1}{2(N+1)}}\pi )\in [a,b]=[-1,1],\\ i & = & 0,\ldots, N,\end{array}\end{eqnarray}

gegeben ist. Dies sind die Nullstellen des Tschebyschew-Polynoms. Für sie ist die Lebesgue-Konstante vergleichsweise klein.

Numerisch deutlich stabiler als die Lagrange-Darstellung ist die Newtonsche Interpolationsformel für g.

Falls G kein Tschebyschew-System bildet, so ist das Problem der Lagrange-Interpolation hinsichtlich G und X nur unter gewissen Zusatzvoraussetzungen an X lösbar. Betrachtet man beispielsweise ein System G von Splinefunktionen \begin{eqnarray}G=\{1,x,\ldots, {x}^{N},{(x-{t}_{j})}_{+}^{N},j=0,\ldots, k-1\},\end{eqnarray}

wobei at0 < t1 < … < tk−1b und (z)+ = max{0, z}, so gilt der folgende Satz von Schoenberg und Whitney aus dem Jahr 1953.

Das Problem der Lagrange-Interpolation hinsichtlich G und X ={x0 < … < xN+k} ist genau dann lösbar, wenn X wie folgt über [a, b] verteilt ist: \begin{eqnarray}{x}_{j}\lt {t}_{j}\lt {x}_{j+N+1},\space j=0,\ldots, k-1.\end{eqnarray}

Einfache Charakterisierungen von Lagrange-Interpolationsmengen X dieser Art sind nicht für jedes System G möglich. So weiß man beispielsweise, daß für Splines definiert auf einem Kreis T, sogenannte periodische Splines, eine solche Verteilungsbedingung im allgemeinen nur notwendig, jedoch nicht hinreichend ist.

Für Systeme G von multivariaten Funktionen führt das Problem der Lagrange-Interpolation auf moderne und komplexe mathematische Fragestellungen, die derzeit von Approximationstheoretikern untersucht werden. Hierbei sind vor allem Systeme G multivariater Polynome und multivariater Splines von großer Bedeutung.

[1] Hämmerlin, G.; Hoffmann, K.-H.: Numerische Mathematik. Springer-Verlag Berlin, 1989.
[2] Schönhage, A.: Approximationstheorie. de Gruyter & Co. Berlin, 1971.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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