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Lexikon der Mathematik: Lagrange, Joseph Louis

Mathematiker, geb. 25.1.1736 Turin, gest. 10.4.1813 Paris.

Lagrange, Sohn eines Kriegsschatzmeisters, studierte in Turin Mathematik und Naturwissenschaften. Mit 16 Jahren wurde er Mathematiklehrer an der Artillerieschule, 1755 Professor an dieser Schule. Ab 1766 wirkte Lagrange als Nachfolger Eulers an der Berliner Akademie der Wissenschaften. Im Jahre 1787 wechselte er an die Pariser Akademie der Wissenschaften. In der Revolutionszeit – die Akademie war aufgelöst – war er Mitglied der Kommissionen für Maße und Gewichte und der für Erfindungen und deren Anwendung. 1795 wurde Lagrange Professor an der École Normale, ab 1797 war er an der École Polytechnique tätig.

Lagrange arbeitete zuerst über Variationsrechnung. Er führte die „erste Variation“, ebenso wie die „Lagrange-Multiplikatoren“ ein. Damit gelang es ihm, ein allgemeines Verfahren zur Lösung von Extremalproblemen aufzubauen, das er 1760/61 erstmals publizierte. Der Beweis des zur Begründung des Verfahrens benutzten Fundamentallemmas der Variationsrechnung war jedoch lückenhaft und wurde erst 1848 von P. Sarrus exakt geführt. Durch Anwendung seiner Methode leitete Lagrange u. a. wichtige Resultate über Minimal-flächen ab. Die Variationsrechnung führte ihn in fast natürlicher Weise zur Beschäftigung mit Differentialgleichungen. 1774 analysierte er eingehend singuläre Lösungen von linearen gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und diskutierte die Beziehungen zum allgemeinen bzw. vollständigen Integral dieser Gleichungen. Außerdem schuf er die Methode der Variation der Konstanten für die Lösung inhomogener linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Lagrange erkannte die Unzulänglichkeiten der zeitgenössischen Differentialrechnung, die er zu Recht im unklaren Umgang mit dem Unendlichkleinen ausmachte. Er gründete seine Differentialrechnung auf das Rechnen mit Taylor-Reihen, schränkte damit aber die Wirksamkeit des Kalküls auf analytische Funktionen ein (1797, 1801). In einer umfassenden Arbeit analysierte Lagrange 1770 die Frage, warum bei algebraischen Gleichungen fünften und höheren Grades im allgemeinen die Lösungsmethoden, die bei Gleichungen niederen Grades erfolgreich sind, versagen, konnte jedoch keine durchgreifenden Resultate erzielen. Er lenkte die Aufmerksamkeit auf das Studium von rationalen Funktionen der Gleichungswurzeln sowie deren Verhalten bei der Permutation der Wurzeln, und formulierte erste wichtige Resultate. Seine Methode, die ihn zum unmittelbaren Vorläufer von Galois werden ließ, führte zur Betrachtung von Permutationsgruppen. Er gab in diesem Kontext implizit den Satz an, daß die Ordnung einer Untergruppe die Gruppenordnung teilt. In anderen algebraischen Arbeiten behandelte er die Approximation der reellen Wurzeln einer Gleichung durch Kettenbrüche und Inter-polationsformeln. In Anmerkungen zur französischen < ?PageNum _239Übersetzung von Eulers „Vollständige Anleitung zur Algebra“ teilte er eigene wichtige Ergebnisse über diophantische Gleichungen zweiten Grades in zwei Unbekannten mit. Bereits zuvor hatte er 1770/72 u. a. mit den Beweisen für den Vier-Quadrate-Satz und den Wilsonschen Satz beachtliche Erfolge in der Zahlentheorie veröffentlicht. Lagranges Hauptwerk wurde die „Mécanique analytique“(1788). Darin behandelte er bewußt die gleichen Fragen, die Newton in seinen „Principia…“ untersucht hatte. Die grundlegenden Lagrangeschen Bewegungsgleichungen wurden als Eulersche Gleichungen eines mechanischen Variationsprinzips gefaßt und waren damit viel weitreichender als der Newtonsche Ansatz. Weitere Arbeiten Lagranges waren astronomischen Inhalts, besonders seine Beiträge zur Störungsrechnung waren grundlegend. Er untersuchte die komplizierte Bahnbewegung des Mondes (1764), die Bewegungen der Jupitermonde (1766) und Durchmesser und Entfernungen von Himmelskörpern.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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