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Lexikon der Mathematik: Laguerre-Geometrie

Teilgebiet der Geometrie, das die Wirkung der Gruppe \(\scr {L}\) der Laguerre-Transformationen auf dem Raum \(M_{\scr {L}}\) der sogenannten L-Kreise beschreibt.

Dieser Raum kann als eine Vereinigung der Menge der orientierten Kreise des ℝ2 mit den Punkten des ℝ2 – hier verstanden als Kreise mit verschwindendem Radius – betrachtet werden. Die Laguerre-Transformationen sind dann diejenigen Transformationen von L-Kreisen, die Teilmengen von L-Kreisen, die dadurch beschrieben sind, daß sie eine gegebene Gerade des ℝ2 berühren, wieder in ebensolche Teilmengen überführen.

Zur genaueren Beschreibung der Laguerre-Geometrie konstruieren wir ein Modell. Für u = (u0, u1) ∈ ℝ2 bezeichnen wir zunächst den Kreis um u mit dem Radius r ∈ ℝ, r > 0, durch K(u, r). Dann konstruieren wir eine Abbildung mp : ℝ3 → \(M_{\scr {L}}\) für x = (x0, x1, x2) durch \begin{eqnarray}{m}_{p}(x)=\left\{\begin{array}{ll}(K(({x}_{0},{x}_{1}),{x}_{2}),1), & \text{falls}\space {x}_{2}\gt 0,\\ (K(({x}_{0},{x}_{1}),{x}_{2}),-1), & \text{falls}\space {x}_{2}\lt 0,\\ ({x}_{0},{x}_{1}), & \text{falls}\space {x}_{2}=0.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Dabei stehen die Komponenten ±1 für die Orientierung des entsprechenden Kreises.

Auf dem ℝ3 betrachten wir die Bilinearform \begin{eqnarray}{\langle x,y\rangle }_{L}=-{x}_{0}{y}_{0}+{x}_{1}{y}_{1}+{x}_{2}{y}_{2}\end{eqnarray}

für x = (x0, x1, x2) und y = (y0, y1, y2) ∈ ℝ3.

Sei nun A(1, 2) die Gruppe der affinen Transformationen des ℝ3, die die Bilinearform ⟨ .,.L erhalten. Dann definieren wir die Gruppe L der Laguerre-Transformationen auf ML durch \begin{eqnarray}L=\{{m}_{p}\circ \varphi \circ {m}_{p}^{-1}|\varphi \in \text{A}(1,2)\}\end{eqnarray}

In der klassischen Literatur wird die Abbildung mp auch als zyklographische Projektion oder Minimal-projektion bezeichnet.

Es sei nun u ∈ ℝ2 ein Punkt der Ebene. Dann berühren sich zwei L-Kreise genau dann in u, wenn ihre Urbilder unter mp auf einer Gerade des ℝ3 liegen, die die (x, y)−Ebene im Punkt u unter dem Winkel π/4 schneidet. Eine solche Gerade wird in der Laguerre-Geometrie isotrope Gerade genannt. Mit Hilfe dieser Begriffsbildung kann gezeigt werden, daß (\(M_{\scr {L}}\), \(\scr {L}\)), so wie hier konstruiert, tatsächlich ein Modell der Laguerre-Geometrie ist. Ähnlich wie die Möbius-Gruppe im Rahmen der Möbius-Geometrie kann auch die Gruppe der Laguerre-Transformationen aus speziellen Inversionen, den Laguerre-Inversionen, erzeugt werden. Siehe hierzu auch Laguerre-Ebene.

Die Laguerre-Geometrie wurde in ihren Grundzügen bereits von Sophus Lie etwa 1870 entwickelt. Edmond Laguerre hat um 1880 vor allem die Erzeugung dieser Geometrie aus Inversionen untersucht. Vom Standpunkt der Lie-Geometrie der Dimension n = 2 kann die Gruppe der Laguerre-Transformationen, wie auch die Möbius-Gruppe, als eine Untergruppe der Gruppe der Lie-Transformationen angesehen werden.

[1] Blaschke, W.: Vorlesungen über Differentialgeometrie III. Verlag von Julius Springer Berlin, 1929.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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