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Lexikon der Mathematik: Landau-Symbole

die beiden – 1905 von Edmund Landau eingeführten – Symbole o („klein o“) und O („groß O“) zur vergleichenden Beschreibung der Größenordnung von Funktionen (und damit von Folgen) bei Grenzübergängen: Sind etwa D ein offenes Intervall, aD, f : D \{a} → ℝ und g : D \{a} → [0, ∞), so definiert man \begin{eqnarray}f(x)=o(g(x))(x\to a):\iff \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0\end{eqnarray}

und liest dafür „ f(x) ist klein o von g(x) für (den Grenzübergang) xa“, sowie \begin{eqnarray}\begin{array}{l}f(x)=O(g(x))(x\to a):\iff \exists K\gt 0\exists \delta \gt 0\\ \forall x\in D:0\lt |x-a|\lt \delta \Rightarrow |f(x)|\le {Kg}(x)\end{array}\end{eqnarray}

und liest dafür „ f(x) ist groß O von g(x) für (den Grenzübergang) xa“. Es wird also beschrieben, daß der Quotient \({\scriptstyle \frac{f(x)}{g(x)}}\) bei dem betrachteten Grenzübergang beschränkt bleibt.

Entsprechend werden „klein o“- und „groß O“-Bedingungen für einseitige Grenzübergänge xa−, xa+, das Verhalten für x → ∞, x → −∞ und ganz beliebige Grenzübergänge (D als Teilmenge eines topologischen Raumes und a Häufungspunkt zu D) erklärt. Dabei ist ersichtlich, daß – neben allgemeineren Definitionsbereichen – anstelle von ℝ beliebige normierte Vektorräume, speziell also auch ℂ, als Zielbereich für f möglich sind, wenn man nur den Betrag | | durch die gegebene Norm ∥ ∥ ersetzt.

Die Landau-Symbole haben zum Beispiel Bedeutung bei der Beschreibung von Differenzierbarkeit und bei dem Satz von Taylor: Die Differenzierbarkeit von f an der Stelle a besagt: \begin{eqnarray}f(x)=f(a)+{f}^{^{\prime} }(a)(x-a)+r(x),\end{eqnarray}

f wird bei a durch das Polynom ersten Grades \begin{eqnarray}x\mapsto f(a)+{f}^{^{\prime} }(a)(x-a)\end{eqnarray}

bis auf einen, Fehler‘ r(x) approximiert, für den \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to a}\frac{r(x)}{|x-a|}=0,\end{eqnarray}

also \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}r(x)=o(|x-a|) & (x\to a),\end{array}\end{eqnarray}

gilt. Der, Rest‘ r(x) geht, schneller als von erster Ordnung‘ gegen 0, d. h. noch nach Division durch | xa|.

Die beiden Symbole haben nur bei Angabe eines Grenzübergangs Sinn. Wird dieser weggelassen, so geht man davon aus, daß dieser aus dem Zusammenhang heraus klar ist.

Beide Ausdrücke f(x) = o(g(x)) und f(x) = O(g(x)) sind keine Gleichungen in dem Sinne, daß etwa aus f1(x) = o(g(x)) und f2(x) = o(g(x)) die Gleichheit von f1(x) und f2(x) (lokal bei a) gefolgert werden kann. Die Beziehung f(x) = o(g(x)) bedeutet nur, daß f eine Funktion ist, für die \({\mathrm{lim}}_{x\to a}{\scriptstyle \frac{f(x)}{g(x)}}=0\) gilt.

Bei der praktischen Verwendung wird man natürlich, einfache‘ Funktionen g heranziehen: Bei einem vorgegebenen Grenzübergang hat man etwa \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}f(x)=o(1) & \iff & f(x)\to 0\\ f(x)=O(1) & \iff & f(x)\space\text{beschr}{\ddot {\text a}}\text {nkt},\\ f(x)=g(x)(1+o(1)) & \iff & \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to a}{\scriptstyle \frac{f(x)}{g(x)}}=1\end{array}\end{eqnarray}

(Die letzte Aussage bedeutet also gerade: f und g sind asymptotisch gleich.) f(x) = o(g(x)) impliziert f(x) = O(g(x)). Die Umkehrung gilt nicht, wie etwa g(x) := f(x) := 1 für x ∈ ℝ zeigt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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