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Lexikon der Mathematik: lange exakte Sequenz abgeleiteter Funktoren

Begriff aus der Algebra, Spezialfall einer langen exakten Sequenz.

Es seien 𝒜 und ℬ abelsche Kategorien, und 𝒜 besitze genügend injektive Objekte. Ist F : 𝒜 → ℬ ein kovarianter Funktor mit den (rechts-) abgeleiteten Funktoren

\begin{eqnarray}{R}^{n}F:{\mathscr{A}}\to {\mathcal B}, \end{eqnarray}

so induziert jede kurze exakte Sequenz

\begin{eqnarray}0\to A\mathop{\to }\limits^{\varphi }B\mathop{\to }\limits^{\psi }C\to 0,\end{eqnarray}

aus 𝒜 eine lange exakte Sequenz der abgeleiteten Funktoren

\begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\mathop{\to }\limits^{{\delta }^{n-1}}{R}^{n}F(A)\to {R}^{n}F(B)\to {R}^{n}F(C)\mathop{\to }\limits^{{\delta }^{n}}\\ \mathop{\to }\limits^{{\delta }^{n}}{R}^{n+1}F(A)\to \cdots \end{array}\end{eqnarray}

mit den natürlichen Morphismen \begin{eqnarray}{\delta }^{n}:{R}^{n}F(C)\to {R}^{n}F(A).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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