die prominenteste Möglichkeit zur Determinantenberechnung, die hier nochmals kompakt wiedergegeben wird.

Inhalt des Satzes ist die Formel (1) (gelegentlich auch der Spezialfall (2)) zur Berechnung der Determinante einer (n × n)-Matrix A = (a_ij) über 𝕂 mittels „Entwicklung nach den r Zeilen mit den Nummern k₁ < · · · < k_r“:

\begin{eqnarray}\det A=\displaystyle \sum _{\gamma \in \Gamma }\mathrm{sgn}\gamma \det {A}_{\gamma }\det {A}_{\gamma }^{* }.\end{eqnarray}

Dabei bezeichnet Γ ⊂ S_n die Menge aller Permutationen γ : {1, …, n} → {1, …, n}, für die gilt: γ(i₁) < · · · < γ(i_n−r); γ(k₁) < · · · < γ(k_r), wobei {i₁, …, i_n−r} und {k₁, …, k_r} eine disjunkte Zerlegung von {1, …, n} mit i₁ < · · · < i_n−r bilden. A_γ ist die Untermatrix, die man aus A erhält wenn man die Zeilen mit den Nummern k₁, …, k_r und die Spalten mit den Nummern γ(k₁), …, γ(k_r) streicht. \({A}_{\gamma }^{* }\) ist die sogenannte zu A_γ komplementäre Untermatrix von A, die sich durch Streichen der Zeilen i₁, …, i_n−r und der Spalten γ(i₁), …, γ(i_n−r) aus A ergibt. Es wird also über alle Möglichkeiten, r Spalten in A auszuwählen, summiert.

Dieser Entwicklungssatz führt die Berechnung der Determinante einer (n × n)-Matrix A auf die Berechnung von Determinanten von (r × r)- und (n − r × n − r)-Matrizen zurück.

Für r = 1 erhält man speziell die „Entwicklung nach der r-ten Zeile“:

\begin{eqnarray}\det A=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{(-1)}^{r+i}{a}_{ri}\det {A}_{ri}.\end{eqnarray}

(A_ri bezeichnet dabei die Matrix, die aus A durch Streichen der r-ten Zeile und der i-ten Spalte hervorgeht.)

Analog kann man zu Determinantenberechnungen auch „Entwicklungen nach Spalten“ durchführen.