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Lexikon der Mathematik: Laplacescher Determinantenentwicklungssatz

die prominenteste Möglichkeit zur Determinantenberechnung, die hier nochmals kompakt wiedergegeben wird.

Inhalt des Satzes ist die Formel (1) (gelegentlich auch der Spezialfall (2)) zur Berechnung der Determinante einer (n × n)-Matrix A = (aij) über 𝕂 mittels „Entwicklung nach den r Zeilen mit den Nummern k1 < · · · < kr“:

\begin{eqnarray}\det A=\displaystyle \sum _{\gamma \in \Gamma }\mathrm{sgn}\gamma \det {A}_{\gamma }\det {A}_{\gamma }^{* }.\end{eqnarray}

Dabei bezeichnet Γ ⊂ Sn die Menge aller Permutationen γ : {1, …, n} → {1, …, n}, für die gilt: γ(i1) < · · · < γ(inr); γ(k1) < · · · < γ(kr), wobei {i1, …, inr} und {k1, …, kr} eine disjunkte Zerlegung von {1, …, n} mit i1 < · · · < inr bilden. Aγ ist die Untermatrix, die man aus A erhält wenn man die Zeilen mit den Nummern k1, …, kr und die Spalten mit den Nummern γ(k1), …, γ(kr) streicht. \({A}_{\gamma }^{* }\) ist die sogenannte zu Aγ komplementäre Untermatrix von A, die sich durch Streichen der Zeilen i1, …, inr und der Spalten γ(i1), …, γ(inr) aus A ergibt. Es wird also über alle Möglichkeiten, r Spalten in A auszuwählen, summiert.

Dieser Entwicklungssatz führt die Berechnung der Determinante einer (n × n)-Matrix A auf die Berechnung von Determinanten von (r × r)- und (nr × nr)-Matrizen zurück.

Für r = 1 erhält man speziell die „Entwicklung nach der r-ten Zeile“:

\begin{eqnarray}\det A=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{(-1)}^{r+i}{a}_{ri}\det {A}_{ri}.\end{eqnarray}

(Ari bezeichnet dabei die Matrix, die aus A durch Streichen der r-ten Zeile und der i-ten Spalte hervorgeht.)

Analog kann man zu Determinantenberechnungen auch „Entwicklungen nach Spalten“ durchführen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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