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Lexikon der Mathematik: Lasker-Noether, Satz von

Aussage aus der Algebra.

In einem Noetherschen Ring ist jedes Ideal Durchschnitt von endlich vielen Primäridealen. Bei einer minimalen Darstellung sind die Radikale der Primärideale die assoziierten Primideale und damit eindeutig bestimmt. Die Primärideale sind eindeutig bestimmt, wenn sie zu minimalen Primoberidealen gehören.

Im Ring der ganzen Zahlen ℤ entspricht die Primärzerlegung der Zerlegung einer ganzen Zahl a in ein Potenzprodukt von Primzahlen:

\begin{eqnarray}a={p}_{1}^{{\varrho }_{1}}.\ldots. {p}_{k}^{{\varrho }_{k}}.\end{eqnarray}

Dann gilt für die entsprechenden Hauptideale (a):

\begin{eqnarray}(a)=({p}_{1}^{{\varrho }_{1}})\cap \ldots \cap ({p}_{k}^{{\varrho }_{k}}).\end{eqnarray}

und die \(({p}_{1}^{{\varrho }_{1}})\) sind Primärideale mit dem assoziierten Primideal (pi).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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