Reihenentwicklung einer im Kreisring

\begin{eqnarray}{A}_{r,s}({z}_{0}):=\{z\in {\mathbb{C}}:0\le r\lt |z-{z}_{0}|\lt s\le \infty \}\end{eqnarray}

holomorphen Funktion f um z₀ ∈ ℂ in A_r,s(z₀), die nach dem Entwicklungssatz von Laurent (Laurent, Entwicklungssatz von) in der Form

\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray}

möglich ist. Die Koeffizienten a_n sind dabei eindeutig bestimmt und heißen die Laurent-Koeffizienten von f.

Als Beispiel sei die Funktion

\begin{eqnarray}f(z)=\frac{2}{{z}^{2}-4z+3}=\frac{1}{1-z}+\frac{1}{z-3}\end{eqnarray}

betrachtet. Sie ist in ℂ \ {1, 3} holomorph, und es gibt drei mögliche Laurent-Entwicklungen um den Punkt z₀ = 0.

(a) Für z ∈ A_0,1(0) gilt

\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(1-\frac{1}{{3}^{n+1}}\right){z}^{n}.\end{eqnarray}

Diese Laurent-Reihe besitzt keinen Hauptteil und ist daher eine reine Potenzreihe. Sie stimmt mit der Taylor-Reihe von f um 0 überein.

(b) Für z ∈ A_1,3(0) gilt

\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{-1}{{z}^{n}}+\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{{3}^{n+1}}{z}^{n}.\end{eqnarray}

Hier ist der erste Summand der Hauptteil und der zweite der Nebenteil.

(b) Für z ∈ A_3,∞(0) gilt

\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }({3}^{n-1}-1)\frac{1}{{z}^{n}}.\end{eqnarray}

Diese Laurent-Reihe besitzt nur einen Hauptteil.