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Lexikon der Mathematik: Laurent, Entwicklungssatz von

fundamentaler Satz in der Funktionentheorie, der wie folgt lautet.

Es sei f eine im Kreisring

\begin{eqnarray}{A}_{r,s}({z}_{0}):=\{z\in {\mathbb{C}}:0\le r\lt |z-{z}_{0}|\lt s\le \infty \},\end{eqnarray}

z0 ∈ ℂ holomorphe Funktion.

Dann ist f in Ar,s(z0) in eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe

\begin{eqnarray}f(z)=(\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n})\end{eqnarray}

entwickelbar, die in Ar,s(z0) normal konvergent gegen f ist. Für jedes ϱ ∈ (r, s) und n ∈ ℤ gilt

\begin{eqnarray}{a}_{n}=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{S\varrho ({z}_{0})}\frac{f(\zeta )}{{(\zeta -{z}_{0})}^{n+1}}d\zeta, \end{eqnarray}

wobei Sϱ(z0) die Kreislinie mit Mittelpunkt z0und Radius ϱ ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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