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Lexikon der Mathematik: Lebensdauerverteilung

die Wahrscheinlichkeitsverteilung der zufälligen Lebensdauer eines Systems bzw. Systemelements.

Ist T die zufällige Lebensdauer und F(t) die Verteilungsfunktion und f(t) die Verteilungsdichte von T, so heißen

\begin{eqnarray}\tilde{F}(t)=P(T\gt t)=1-F(t)\end{eqnarray}

Überlebenswahrscheinlichkeit der Einheit,

\begin{eqnarray}r(x)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to 0,t\gt 0}\frac{P(T\le x+t/T\gt x)}{t}=\frac{f(x)}{\tilde{F}(x)}\end{eqnarray}

Ausfall- bzw. Hazardrate des Systems, und

\begin{eqnarray}\tilde{F}(t/x)=P(T\gt t+x/T\gt x)=\frac{\tilde{F}(t+x)}{\tilde{F}(x)}\end{eqnarray}

bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit des Systems.

In der Zuverlässigkeitstheorie werden die Lebensdauerverteilungen entsprechend der Eigenschaften ihrer Ausfallraten und Überlebenswahrscheinlichkeiten in folgende Klassen eingeteilt:

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Lebensdauerverteilung
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Griechisch-lateinisches Quadrat der Ordnung 5

Die Klasse der IFR-Verteilungen ist offenbar eine Teilmenge der NBU-Verteilungen; die Klasse der DFR-Verteilungen ist eine Teilmenge der NWU-Verteilungen. In [3] findet man spezielle Hypothesentestverfahren zum Prüfen der vorliegenden Verteilungsklasse, speziell für folgende Hypothesen:

\begin{eqnarray}\begin{array}{l}{H}_{0}:IFR\text{gegen}{H}_{1}:DFR,\\ {H}_{0}:NBU\text{gegen}{H}_{1}:NWU,\\ {H}_{0}:IFRA\text{gegen}{H}_{1}:DFRA,\\ {H}_{0}:NBUE\text{gegen}{H}_{1}:NWUE,\end{array}\end{eqnarray}

Zur Beschreibung der Verteilungen von zufälligen Lebensdauern werden oft die Exponential-, die Gamma-, die Weibull- und die Lognormalverteilung herangezogen.

Ein Beispiel. Für die Exponentialverteilung

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}F(t)=1-{e}^{-\lambda t}, & \lambda \gt 0,t\ge 0\end{array}\end{eqnarray}

gilt:

\begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}\tilde{F}(x)={e}^{-\lambda x} & \text{und} & r(x)=\lambda & \forall x.\end{array}\end{eqnarray}

Die Exponentialverteilung gehört damit sowohl zur Klasse der DFR und der IFR als auch zur Klasse der NBU und NWU-Verteilungen.

Für die Weibullverteilung mit der Verteilungsfunktion

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}F(t)=1-{e}^{-\alpha {t}^{\beta }} & \text{f}\ddot{u}\text{r}\alpha \text{, }\beta \text{, }t\gt 0\end{array}\end{eqnarray}

und der Dichtefunktion

\begin{eqnarray}f(t)=\alpha \text{, }\beta \text{, }{t}^{\beta -1}{e}^{-\alpha t-\beta }\end{eqnarray}

ist die Ausfallrate gleich

\begin{eqnarray}r(x)=\frac{f(x)}{\tilde{F}(x)}=\alpha \beta {x}^{\beta -1}.\end{eqnarray}

Damit ergibt sich für \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\beta =1 & \text{eine Exponentialverteilung}\\ & \text{mit dem Parameter}\alpha, \\ \beta \ge 1 & \text{eine IFR-Verteilung, und für}\\ \beta \le 1 & \text{eine DFR-Verteilung}\text{.}\end{array}\end{eqnarray}

[1] Barlow, R.E.; Proschan, F.: Statistische Theorie der Zuverlässigkeit. Harri Deutsch Verlag Frankfurt/M, 1978.
[2] Gnedenko, B.W.; Beljajew, J.K.; Solowjew, A.D.: Mathematische Methoden der Zuverlässigkeit. Akademie Verlag Berlin, 1980.
[3] Hartung, J.; Elpelt, B.; Klösener, K.-H.: Statistik. R.Oldenbourg Verlag München Wien, 1989.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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