Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Lebesgue-Borel-Maß

auch oft nur Lebesgue-Maß genannt, spezielles Maß im ℝd.

Es sei ℐd der Mengenhalbring der links offenen rechts abgeschlossenen Intervalle in ℝd mit (a, a] = ∅ und λd : ℐd → \({\bar{ {\mathcal I} }}_{+}\), wobei λd(Id) für Id ∈ ℐd das Volumen von Id bezeichnet, eine Mengenfunktion auf ℐd.

Dann ist λd ein σ-endliches Maß auf ℐd, das eindeutig zu einem σ-endlichen Maß auf dem von ℐd erzeugten Mengenring fortgesetzt werden kann, und von dort nach einem Satz von Caratheodory eine eindeutige Fortsetzung auf die σ-Algebra 𝒜 der bzgl. des nach Caratheodory konstruierten äußeren Maßes \({\bar{\lambda }}^{d}\) meßbaren Mengen von Ω besitzt. Da die Borel-σ-Algebra ℬ(ℝd) Teilmenge von 𝒜 ist, besitzt λd somit auch eine eindeutige, σ-endliche Fortsetzung auf ℬ(Rd).

Man nennt dann i. allg. λd, definiert auf ℬ(ℝd), das Lebesgue-Borel-Maß auf ℝd, definiert auf 𝒜 das Lebesgue-Maß auf ℝd, \({\bar{\lambda }}^{d}\) das Lebesguesche äußere Maß, die Nullmengen bzgl. λd in ℬ(ℝd) Lebesgue-Borel-Nullmengen, die Elemente von 𝒜 die Lebesgue-Mengen oder Lebesgue-meßbaren Mengen in ℝd und die Nullmengen bzgl. λd in 𝒜 die Lebesgue-Nullmengen in ℝd.

(ℝd, 𝒜, λd) ist ein vollständiger Maßraum, und die größte σ-Algebra auf ℝd, auf die λd als Maß fortgesetzt werden kann (Banach-Hausdorff-Tarski-Paradoxon). λd ist auf 𝒜 invariant gegenüber Bewegungen in ℝd und somit das Haar-Maß in ℝd.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte