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Lexikon der Mathematik: Lebesgue, Henry Léon

Mathematiker, geb. 28.6. 1875 Beauvais, gest. 26.7.1941 Paris.

Lebesgue, Sohn eines Druckereiarbeiters und einer Volksschullehrerin, konnte nur Dank eines Stipendiums seines Geburtsortes 1894 das Studium an der École Normale in Paris aufnehmen. Ab 1897 arbeitete er dort als bibliothekarische Hilfskraft und setzte das Studium bis 1899 fort, danach war er Lehrer in Nancy. Nach der Promotion 1902 sowie Anstellungen an den Universitäten Rennes (1902–1906) und Poitiers (1906–1910) wurde er 1910 Lektor und 1919 Professor an der Sorbonne in Paris. Während des ersten Weltkrieges leitete er eine Kommission im Kriegsministerium und untersuchte u. a. Fragen der Ballistik. 1921 nahm er einen Ruf als Professor an das Collège de France an, an dem er bis zu seinem Lebensende tätig war.

Lebesgues großer Verdienst ist der Aufbau einer neuen Integrationstheorie, die heute seinen Namen trägt. Ausgehend von Baires Ergebnissen über unstetige Funktionen einer reellen Variablen und Jordans Darstellung des Riemannschen Integrals knüpfte er an die Borelschen Anregungen an, die dieser mit seiner neuen Maßtheorie gegeben hatte. Lebesgue erkannte, daß in diesem mengentheoretischen Kontext eine Verallgemeinerung der Definition von Maß und Meßbarkeit zu einer entsprechenden Verallgemeinerung des Integralbegriffs führen, und kam auf diesem Weg zu einem neuen Integralbegriff, den er in der Dissertation darlegte. Unabhängig von ihm wurden auch W.H. Young (1863–1942) und G. Vitali (1875–1932) zu der gleichen Verallgemeinerung des Integrals angeregt und legten analoge Ergebnisse vor.

Lebesgue definierte das Integral als Maß der Ordinatenmenge und formulierte das Problem, ob es eine beschränkte Funktion gibt, die nicht nach seiner Theorie summierbar ist. Vitali gab 1905 eine solche Funktion an.

Lebesgue demonstrierte die Leistungsfähigkeit seiner Integrationstheorie, indem er mehrere zuvor offene Fragen beantworten konnte. So zeigte er u. a., daß die Menge der nach seiner Theorie integrierbaren (Lebesgue-integrierbaren) Funktionen gegenüber den üblichen Grenzprozessen (limes fast überall, limes superior etc.) abgeschlossen war. Dies ebnete den Weg zu seinem Hauptsatz über die majorisierte Konvergenz von Funktionenfolgen und den daraus abgeleiteten Satz, daß eine gleichmäßig beschränkte Reihe Lebesgue-integrierbarer Funktionen gliedweise integriert werden kann. Diese Untersuchungen hatten große Bedeutung für die Theorie der trigonometrischen Reihen, wichtige Ergebnisse machte er 1906 in einer Monographie bekannt. Weitere bemerkenswerte Resultate betrafen den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung sowie die Rektifikation von Kurven, wo Lebesgue alte Probleme lösen und neue Sichtweisen eröffnen konnte.

1910 definierte er in einer weiteren grundlegenden Arbeit die abzählbar additiven Mengenfunktionen und dehnte seine Theorie auf n-dimensionale Räume aus. Die dabei vorgenommene Verknüpfung der Begriffe Additivität und beschränkte Variation einer Funktion regte J. Radon (1887–1956) zur Entwicklung des noch allgemeineren Radon-Integrals an.

Lebesgues Ideen wurden zunächst zögernd aufgenommen. Erst durch die erfolgreiche Anwendung in der Theorie der trigonometrischen Reihen sowie die Arbeiten von F. Riesz, P. Fatou und E. Fischer fanden sie um 1910 rasch Anerkennung und gehörten bald zu den Grundlagen der Maß- und Integrationstheorie, der Funktionalanalysis, der Fourier-Analyse und der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Neben der Integrationstheorie, die sein Lebenswerk bildete, trat Lebesgue auch mit interessanten Beiträgen zur Variationsrechnung, zur Dimensionstheorie und zur Struktur von Mengensystemen hervor.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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