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Lexikon der Mathematik: Lebesgue-Integral

L-Integral, fundamentaler Integralbegriff, der seine Wurzeln in der Maßtheorie hat.

Ein µ-Integral bzgl. des Lebesgue-Maßes über eine Lebesgue-integrierbare Funktion f : ℝd → ℝ heißt Lebesgue-Integral dieser Funktion.

Auf dieses Integral stieß Lebesgue 1902 in seiner Dissertation, als er anstelle der Unterteilung der Abszissenachse beim Riemann-Integral eine Unterteilung der Ordinatenachse vornahm, um so zu einer besseren Anpassung an den Graphenverlauf zu kommen. Dieser neue Integralbegriff beseitigte etliche Schwierigkeiten, auf die man beim Umgang mit dem Riemann-Integral gestoßen war (Menge der integrierbaren Funktionen, Integralvertauschung, Grenzwert-Integral-Vertauschung).

Riemann-Integration und Lebesgue-Integration führen i. allg. zu gleichen Ergebnissen, speziell gilt: Ist g Riemann-integrierbar auf dem Intervall [a, b], so existiert eine Borel-meßbare Funktion f mit f = g fast überall bzgl. des Lebesgue-Maßes, und das Riemann-Integral über g stimmt mit dem Lebesgue-Integral über f überein.

Sind g und |g| uneigentlich Riemann-integrierbar, so existiert ein Borel-meßbares f mit f = g fast überall bzgl. des Lebesgue-Maßes, und das uneigentliche Riemann-Integral über g stimmt mit dem Lebesgue-Integral über f überein.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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