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Lexikon der Mathematik: Lebesgue-Punkt einer Funktion

Dichtepunkt, ein Punkt mit der im folgenden definierten maßtheoretischen Eigenschaft.

Es sei Ω eine Menge, 𝒜 ein σ-Mengenring auf Ω, wobei eine isotone Folge (An|n ∈ ℕ) ⊆ 𝒜 existiert mit ∪n∈ℕAn = Ω, µ ein endliches signiertes Maß auf 𝒜, 𝒱 ein Vitali-System bzgl. 𝒜, und φ : Ω → ℝ eine bzgl. 𝒜 und µ integrierbare Funktion.

Dann heißt ω0 ∈ Ω Lebesgue-Punkt von φ bzgl. 𝒱, falls

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0}\frac{1}{\mu ({A}_{\varepsilon }({\omega }_{0}))}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{A}_{\varepsilon }({\omega }_{0})}|\phi (\omega )-\phi ({\omega }_{0})|d\mu (\omega )=0\end{eqnarray}

ist, wobei Aϵ(ω0) ∈ V mit ω0Aϵ(ω0) und µ(Aϵ(ω0)) < ϵ.

Der Satz von Lebesgue über die Dichtepunkte von Ω besagt, daß alle Punkte von Ω bis auf eine Menge vom µ-Maß Null Lebesgue-Punkte von Ω sind. Die Menge dieser Punkte heißt Lebesgue-Menge der Funktion φ.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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