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Lexikon der Mathematik: Lebesgue, Satz von, über majorisierende Konvergenz

fundamentaler Grenzwertsatz aus der Maßtheorie.

Es sei (Ω, 𝒜, µ) ein Maßraum, p eine reelle Zahl mit 1 ≤ p < ∞, und (fn|n ∈ ℕ) eine fast überall konvergente Folge von p-fach µ-integrierbaren Funktionen auf Ω. Weiter sei g ≥ 0 eine p-fach µintegrierbare Funktion auf Ω mit |fn| ≤ g für alle n ∈ ℕ.

Dann gibt es eine p-fach µ-integrierbare Funktion f auf Ω, gegen die die Folge fast überall und im p-ten Mittel konvergiert.

In anderer Formulierung (speziell für den ℝn) kann der Satz auch so formuliert werden:

Es sei fk, k ∈ ℕ, eine Folge von aufn Lebesgueintegrierbaren Funktionen, die fast überall aufn punktweise gegen eine Funktion f : ℝn → ℝ konvergiert. Weiterhin existiere eine Funktion \(F:{{\mathbb{R}}}^{n}\to {{\mathbb{R}}}_{+}\cup \{\infty \}mit\displaystyle {\int }_{{{\mathbb{R}}}^{n}}^{* }|F(x)|dx\lt \infty \), so daß |fk| ≤ F für alle k ∈ ℕ, wobei unterdas obere Integral einer Funktion zu verstehen ist.

Dann ist auch f integrierbar, und es gilt: \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{n}}f(x)dx=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{n}}{f}_{k}(x)dx.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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