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Lexikon der Mathematik: Lefschetz, Fixpunktsatz von

die im folgenden formulierte Aussage über die Existenz eines Fixpunktes.

Es sei Hp(X) die p-dimensionale Homologiegruppe eines endlichen Polyhedrons X, Tp(X) die Torsionsunterguppe von Hp(X) und Bp(X) = Hp(X)/Tp(X). Jede stetige Abbildung f : XX induziert auf natürliche Weise einen Homomorphismus f des freien ℤ-Moduls Bp(X) in sich selbst. Ist αp die Spur von f und n = dim X, dann heißt

\begin{eqnarray}{\Lambda }_{f}=\displaystyle \sum _{p=0}^{n}{(-1)}^{p}{\alpha }_{p}\end{eqnarray}

die Lefschetz-Zahl von f. Es gilt dann der folgende Fixpunktsatz.

  1. Es seien f, g : XX stetig. Sind f und g homotop, dann ist Λf = Λg.
  2. Ist Λf ≠ 0, so hat f mindestens einen Fixpunkt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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