Legendre-Transformation, spezielle umkehrbare Transformation.

Man nennt allgemein eine umkehrbare Transformation

\begin{eqnarray}(x,y,z)=(\varphi, \psi, \varrho )(\xi, \mu, \pi )\end{eqnarray}

mit stetig partiell differenzierbaren Abbildungen ϕ, ψ und ϱ eine Berührungstransformation, falls

\begin{eqnarray}dy-zdx=\lambda (\xi, \mu, \pi )\cdot (d\eta -\pi d\xi )\end{eqnarray}

mit λ(ξ, η, π) ≠ 0 gilt. Ein wichtiger Spezialfall einer Berührungstransformation ist die Berührungstransformation von Legendre. Sie lautet:

\begin{eqnarray}(x,y,z)=(\pi, \xi \pi -\eta, \xi ).\end{eqnarray}

Unter gewissen Bedingungen gilt, daß die Lösung einer Differentialgleichung invariant unter der Legendre-Transformation ist.