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Lexikon der Mathematik: Legendre-Polynome

die vermöge der Relation

\begin{eqnarray}{P}_{n}(x):=\frac{1}{{2}^{n}n!}\frac{{d}^{n}}{d{x}^{n}}{({x}^{2}-1)}^{n}\end{eqnarray}

für l ∈ ℕ definierten Polynome vom Grad l.

Es ist mit dieser Definition

\begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{P}_{n}(x)= & \frac{1}{{2}^{n}}\displaystyle \sum _{m=0}^{[n/2]}{(-1)}^{m}\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)\\ & \left(\begin{array}{c}2n-2m\\ n\end{array}\right){x}^{n-2m}\end{array}\end{eqnarray}

sowie Pn(1) = 1. Legendre-Polynome bilden ein vollständiges Orthogonalsystem von Polynomen auf [−1, 1], denn es gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_{n}(x){P}_{m}(x)dx={\delta }_{n,m}\frac{2}{2n+1}\end{eqnarray}

Die Legendre-Polynome zu geradem n sind gerade Funktionen, die zu ungeradem n sind ungerade, es gilt also Pn(−x) = (−1)nPn(x) für alle n.

Die Legendre-Polynome erfüllen die Differentialgleichungen

\begin{eqnarray}\begin{array}{c}(1-{x}^{2}){{P}^{^{\prime\prime} }}_{n}(x)-2x{{P}^{^{\prime} }}_{n}(x)+n(n+1){P}_{n}(x)=0\\ (1-{x}^{2}){{P}^{^{\prime} }}_{n}(x)+nx{P}_{n}(x)=n{P}_{n-1}(x),\end{array}\end{eqnarray}

weiterhin gilt die Rekursionsformel

\begin{eqnarray}(n+1){P}_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_{n}(x)-n{P}_{n-1}(x).\end{eqnarray}

Die Legendre-Polynome lassen sich auch durch die folgende erzeugende Funktion charakterisieren:

\begin{eqnarray}\frac{1}{\sqrt{1-2xz+{z}^{2}}}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{P}_{n}(x){z}^{n}.\end{eqnarray}

Die Legendre-Polynome sind Spezialfälle der Legendre-Funktionen zu ganzzahligem Index n, obwohl man mitunter auch die Funktionen Pn(cos ϕ) unter dem Namen Legendre-Funktionen kennt.

Die Polynome

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{P}_{n}^{m}(x):={(1-{x}^{2})}^{m/2}\frac{{d}^{m}}{d{x}^{m}}{P}_{n}(x) & m\ge 0\end{array}\end{eqnarray}

nennt man auch die zugeordneten Legendre-Polynome. Sie spielen insbesondere in der Quantenmechanik eine Rolle, da man mit ihrer Hilfe die als Kugelflächenfunktionen \({Y}_{n}^{m}\) bezeichnete Eigenbasis des Drehimpulsquadrates und seiner z-Komponente ausdrücken kann.

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.
[2] Olver, F.W.J.: Asymptotics and Special Functions. Academic Press, 1974.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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