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Lexikon der Mathematik: Leibniz-Kriterium

macht eine Konvergenzaussage über alternierende Reihen, d. h. Reihen mit abwechselnd nicht-negativen und nicht-positiven Gliedern:

Ist (an) eine (reelle) Folge mit an ↓ 0, also eine antitone Nullfolge, so ist die Reihe

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{(-1)}^{v}{a}_{v}\end{eqnarray}

konvergent. Bezeichnet man den Grenzwert mit S, dann gilt für jedes n ∈ ℕ:

\begin{eqnarray}\left|S-\displaystyle \sum _{v=0}^{n}{(-1)}^{v}{a}_{v}\right|\le {a}_{n+1}.\end{eqnarray}

Bricht man die Berechnung der Reihe nach dem n-ten Glied ab, so ist der dadurch gemachte Fehler betragsmäßig also höchstens so groß wie das erste nicht berücksichtigte Glied. Die Fehlerabschätzung liefert so ein für die praktische Rechnung wichtiges Abbruchkriterium. Natürlich sind auch (Multiplikation mit −1) alternierende Reihen erfaßt, bei denen das erste Glied positiv ist.

Die Konvergenz „sieht“ man bei der folgenden Graphik, in der – beispielhaft – die Partialsummen der Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{1}{n}\) aufgetragen sind:

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Leibniz-Kriterium
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Aus diesem Kriterium liest man zum Beispiel direkt ab:

Die Reihe

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{1}{n}\end{eqnarray}

ist konvergent.

Sie ist jedoch nicht absolut konvergent (harmonische Reihe).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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