Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Leibniz-Reihe für π

Gregory-Reihe, die Darstellung

\begin{eqnarray}\frac{\pi }{4}-\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\pm \cdots, \end{eqnarray}

1674 von Gottfried Wilhelm Leibniz aus tan \(\frac{\pi }{4}=1\) und der Potenzreihe der Arcustangensfunktion abgeleitet, aber auch schon um 1500 dem Inder Kerala Gargya Nīlakaṇtṭha bekannt.

Leibniz bezeichnete diese Reihe als „arithmetische Kreisquadratur“, weil der Reihenwert das Verhältnis der Flächeninhalte des Kreises und des umschriebenen Quadrats ist.

Historisch war dies die erste Reihendarstellung von π. Für praktische Rechnungen konvergiert die Reihe viel zu langsam, durch Umformungen (Konvergenzbeschleunigung bei Reihen) erhält man aus ihr aber wesentlich schneller konvergierende Darstellungen.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos