Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Leibnizsche Regel

Formel (1) zur Berechnung höherer Ableitungen eines Produkts von Funktionen. Sie folgt induktiv aus der Produktregel und lautet

\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{(fg)}^{(n)}(a) & = & \displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right){f}^{(k)}(a){g}^{(n-k)}(a)\\ & = & \displaystyle \sum _{\begin{array}{c}0\le k,\ell \le n\\ k+\ell =n\end{array}}\frac{n!}{k!\ell !}{f}^{(k)}(a){g}^{(\ell )}(a)\end{array}\end{eqnarray}

für n-mal an der Stelle aD ⊂ ℝ differenzierbare Funktionen f, g : D → ℝ; dabei ist f(0) := f gesetzt.

Die Formel gilt auch für holomorphe Funktionen, wobei man hier automatisch die beliebig häufige Differenzierbarkeit des Produkts hat; es gilt somit der Satz:

Es seien D ⊂ ℂ eine offene Menge und f,g: D → ℂ in D holomorphe Funktionen. Dann ist fg holomorph in D und somit unendlich oft komplex differenzierbar in D. Für alle n ∈ ℕ existiert daher die n-te Ableitung von fg, und es gilt Formel (1) für alle aD und n ∈ ℕ.

Die Verallgemeinerung von (1) auf mehrere Faktoren ist

\begin{eqnarray}{({f}_{1}\cdots {f}_{p})}^{(n)}(a)=\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}0\le {k}_{1},\cdots, {k}_{p}\le n\\ {k}_{1}+\cdots +{k}_{p}=n\end{array}}\frac{n!}{{k}_{1}!\cdots {k}_{p}!}{f}_{1}^{({k}_{1})}(a)\cdots {f}_{p}^{({k}_{p})}(a)\end{eqnarray}

für n-mal an der Stelle aD differenzierbare Funktionen f1, …, fp.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte