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Lexikon der Mathematik: Lemniskate

Kurve von der Form einer liegenden Acht, die sich als Spezialfall a = b der Cassinischen Kurven ergibt.

Eine parametrische Gleichung der Lemniskate lautet

\begin{eqnarray}x(t)=\frac{a\cos t}{1+{\sin }^{2}t},y(t)=\frac{a\cos {\quad}t\sin t}{1+{\sin }^{2}t}.\end{eqnarray}

Die Bogenlänge der Lemniskate, gemessen von einem festen Anfangsparameter t0, ergibt sich aus dieser Gleichung als elliptisches Integral

\begin{eqnarray}l(t)=\displaystyle \underset{{t}_{0}}{\overset{t}{\int }}\frac{ad\tau }{\sqrt{{\cos }^{2}\tau +2\sin 2\tau }}.\end{eqnarray}

Daher hat sie den Umfang

\begin{eqnarray}U=4a\mu (1,\sqrt{2}),\end{eqnarray}

wobei µ das arithmetisch-geometrische Mittel bezeichnet.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Lemniskate
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Bemerkenswert ist, daß jedes der beiden Blätter der Lemniskate den rationalen Flächeninhalt A = a2 hat.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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