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Lexikon der Mathematik: Leray-Schauderscher Abbildungsgrad

Hilfsmittel der nichtlinearen Funktionalanalysis zum Studium der Lösbarkeit der Gleichung

\begin{eqnarray}f(x)=y.\end{eqnarray}

Es sei U eine beschränkte offene Teilmenge eines Banachraums X, es sei yX, und 𝒱(U, y) sei die Menge aller stetigen Abbildungen f : \({\bar{U}}\) → X der Form f(x) = xg(x), wo g(U) relativkompakt und \(y\notin f(\partial U)\) ist.

Dann existiert genau eine Zuordnung f ∈ 𝒱(U, y) ↦ d(f, U, y) ∈ ℤ mit folgenden Eigenschaften:

  • Falls d(f, U, y) ≠ 0, besitzt (1) eine Lösung in U.
  • Für i(x) = x ist d(i, U, y) = 1, falls yU, und d(i, U, y) = 0, falls \(y\notin \bar{U}\).
  • Sind U1, …, Um paarweise disjunkte offene Teilmengen von U, ist {xU : f(x) = y} ⊂ U1 ∪ ··· ∪ Um, und bezeichnet fj die Einschränkung von f auf j, so gilt d(f, U, y) = d(f1, U1, y) + ··· + d(fm, Um, y).
  • Ist H : [0, 1] × U̅ → X eine Homotopie mit relativkompaktem Bild und \begin{eqnarray}{f}_{t}(x):=x-H(t,x)\ne y\end{eqnarray} für alle x∂U und alle t ∈ [0, 1], so gilt \begin{eqnarray}d({f}_{0},U,y)=d({f}_{1},U,y).\end{eqnarray}
  • Der Leray-Schaudersche Abbildungsgrad d(f,U,y) ist eine unendlichdimensionale Verallgemeinerung des (Brouwerschen) Abbildungsgrads im ℝn.

    Um zu zeigen, daß die Gleichung (1) in U lösbar ist, versucht man zu zeigen, daß f zu einer einfacheren Abbildung gemäß (iv) homotop ist, für die d(f̃, U, y) ≠0 einfach einzusehen ist; (iv) und (i) zeigen dann die Lösbarkeit von (1).

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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