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Lexikon der Mathematik: Levi-Bedingung

spielt bei der Untersuchung des Zusammenhanges zwischen der Pseudokonvexität eines Gebietes G im ℂn und der Krümmung des Randes von G eine Rolle.

Sei B ⊂ ℂn ein Bereich, ϕ : B → ℝ zweimal stetig differenzierbar, und ζ0B. Dann heißt die quadratische Form

\begin{eqnarray}{L}_{\varphi, \zeta 0}(w):=\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\varphi }_{{z}_{i}\overline{{z}_{j}}}({\zeta }_{0}){w}_{i}\overline{{w}_{j}}\end{eqnarray}

die Levi-Form von ϕ in ζ0. ϕ erfüllt in ζ0 die Levi-Bedingung, wenn gilt: Ist ω ∈ ℂn und\(\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{\varphi }_{{z}_{i}}({\zeta }_{0}){w}_{i}=0\), so ist Lϕ,ζ0 (ω) ≥ 0.

Für ein Gebiet G ⊂ ℂn mit glattem Rand ist in einem Randpunkt ζ0 von G die Levi-Bedingung erfüllt, falls es eine offene Umgebung U = U(ζ0) ⊂ ℂn und eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ϕ : U → ℝ mit den folgenden Eigenschaften gibt, so daß ϕ in ζ0 die Levi-Bedingung erfüllt (dann erfüllt auch jede weitere Funktion ψ : U → ℝ mit den gleichen Eigenschaften von ϕ in ζ0 die Levi-Bedingung):

  1. UG = {ζU : ϕ(ζ) < 0},
  2. ()ζ ≠ 0 für alle ζU.

Es gilt der folgende Satz:

Sei G ⊂ ℂn ein Gebiet mit glattem Rand. Dann ist G genau dann pseudokonvex, wenn für jeden Randpunkt ζ0von G die Levi-Bedingung erfüllt ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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