spielt bei der Untersuchung des Zusammenhanges zwischen der Pseudokonvexität eines Gebietes G im ℂⁿ und der Krümmung des Randes von G eine Rolle.

Sei B ⊂ ℂⁿ ein Bereich, ϕ : B → ℝ zweimal stetig differenzierbar, und ζ₀ ∈ B. Dann heißt die quadratische Form

\begin{eqnarray}{L}_{\varphi, \zeta 0}(w):=\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\varphi }_{{z}_{i}\overline{{z}_{j}}}({\zeta }_{0}){w}_{i}\overline{{w}_{j}}\end{eqnarray}

die Levi-Form von ϕ in ζ₀. ϕ erfüllt in ζ₀ die Levi-Bedingung, wenn gilt: Ist ω ∈ ℂⁿ und\(\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{\varphi }_{{z}_{i}}({\zeta }_{0}){w}_{i}=0\), so ist L_ϕ,ζ0 (ω) ≥ 0.

Für ein Gebiet G ⊂ ℂⁿ mit glattem Rand ist in einem Randpunkt ζ₀ von G die Levi-Bedingung erfüllt, falls es eine offene Umgebung U = U(ζ₀) ⊂ ℂⁿ und eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ϕ : U → ℝ mit den folgenden Eigenschaften gibt, so daß ϕ in ζ₀ die Levi-Bedingung erfüllt (dann erfüllt auch jede weitere Funktion ψ : U → ℝ mit den gleichen Eigenschaften von ϕ in ζ₀ die Levi-Bedingung):

1. U ∩ G = {ζ ∈ U : ϕ(ζ) < 0},
2. (dϕ)_ζ ≠ 0 für alle ζ ∈ U.

Es gilt der folgende Satz:

Sei G ⊂ ℂⁿ ein Gebiet mit glattem Rand. Dann ist G genau dann pseudokonvex, wenn für jeden Randpunkt ζ₀von G die Levi-Bedingung erfüllt ist.