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Lexikon der Mathematik: Lévy-Charakterisierung

Charakterisierung der Brownschen Bewegung mit Hilfe der quadratischen Kovariation.

Es sei (Ω, 𝔄, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (𝔄t)t∈[0,∞)eine Filtration in 𝔄, welche die üblichen Voraussetzungen erfüllt, und (Xt)t∈[0,∞)ein an (𝔄t)t∈[0,∞)adaptierter stetiger stochastischer Prozeß mit Werten in (ℝd, 𝔅(ℝd)).

Ist \(({X}_{t}^{(i)})t\in [0,\infty )\)für i = 1, …, d ein stetiges lokales Martingal bezüglich (𝔄t)t∈[0,∞), und gilt für die quadratische Kovariation P-fast sicher die Beziehung

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{[{X}^{(i)},{X}^{(j)}]}_{t}={\delta }_{i,j}t & f\rm{\unicode{x00FC}}r{\quad}alle{\quad}t\ge 0,\end{array}\end{eqnarray}

i, j = 1, …, d, so ist der Prozeß (Xt)t∈[0,∞)eine d-dimensionale Brownsche Bewegung.

Dabei bezeichnet 𝔅(ℝd) die σ-Algebra der Borelschen Mengen des ℝd, \({X}_{t}^{i}\) die i-te Komponente von Xt, und δi,j das Kronecker-Symbol.

Umgekehrt gilt für eine an die die üblichen Voraussetzungen erfüllende Filtration (𝔄t)t∈[0,∞) adaptierte, normale d-dimensionale Brownsche Bewegung (Xt)t∈[0,∞) auch P-fast sicher die Beziehung [X(i), X(j)]t = δi,jt für alle t ≥ 0, d. h. die Prozesse ([X(i), X(j)]t)t∈[0,∞) und (δi,jt)t∈[0,∞) sind nicht unterscheidbar.

Oft findet man auch Formulierungen der Lévy-Charakterisierung, in denen im obigen Satz statt [X(i), X(j)]t = δi,jt für alle t ≥ 0 die äquivalente Bedingung, daß der Prozeß \({({X}_{t}^{(i)}{X}_{t}^{(j)}-{\delta }_{i,j}t)}_{t\in [0,\infty )}\) ein stetiges lokales Martingal bezüglich (𝔄t)t∈[0,∞) ist, verwendet wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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