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Lexikon der Mathematik: Lie-Algebra

Vektorraum mit bilinearem antisymmetrischem Produkt, das der Jacobi-Identität genügt.

Wird nichts Gegenteiliges gesagt, wird der Vektorraum als reell und endlichdimensional angenommen. Anstelle des Körpers der reellen Zahlen kann aber auch jeder andere Körper verwendet werden. Ist die Basis des Vektorraums durch ei, i = 1, … n, gegeben, so ist das Produkt von ei und ej definiert durch

\begin{eqnarray}[{e}_{i},{e}_{j}]=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{C}_{ij}^{k}{e}_{k}.\end{eqnarray}

Dabei sind die \({C}_{ij}^{k}\) die Strukturkonstanten, die Antisymmetrie des Produkts ist durch die Bedingung \({C}_{ij}^{k}=\rm{\unicode{x2212}}{C}_{ji}^{k}\) ausgedrückt.

Die Jacobi-Identität läßt sich analog durch eine in den Strukturkonstanten quadratische Gleichung ausdrücken.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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