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Lexikon der Mathematik: Lie-Gruppe

eine topologische Gruppe, die zugleich differenzierbare Mannigfaltigkeit mit differenzierbarer Gruppenoperation ist (Gruppentheorie, fünftes Hilbertsches Problem).

Sowohl Produkt als auch Inversenbildung in der Gruppe sind also als differenzierbar vorausgesetzt. Von den Lie-Gruppen, die derselben Lie-Algebra zugeordnet sind, gibt es genau eine, die einfach zusammenhängend ist. Dabei heißt die Lie-Gruppe einfach zusammenhängend, wenn dies für den unterliegenden topologischen Raum gilt. Ein topologischer Raum wiederum ist einfach zusammenhängend, wenn jede geschlossene Kurve stetig auf einen Punkt zusammengezogen werden kann. Beipiele: Die Ebene und die Kugeloberfläche S2 sind einfach zusammenhängend, die Kreislinie S1 und der Torus S1 × S1 dagegen nicht.

Von diesen vier Beispielen treten nur drei als Lie-Gruppen tatsächlich auf, da es keine Lie-Gruppe gibt, deren unterliegende differenzierbare Mannigfaltigkeit die S2 ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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