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Lexikon der Mathematik: Limes, injektiver und projektiver

allgemeine kategorientheoretische Begriffsbildung, die man als Verallgemeinerung von Vereinigung oder Durchschnitt von Mengen ansehen kann.

Die formale Definition ist wie folgt: Gegeben seien Kategorien I und 𝒞 und ein Funktor F : I → 𝒞. Der injektive oder auch direkte Limes \({\mathrm{lim}}_{\to }F={\mathrm{lim}}_{\mathop{\to }\limits_{i}}F(i)\) ist ein Objekt X in C und eine Familie von Morphismen \(F(i)\mathop{\to }\limits^{\varphi i}X(i\in {\mathscr{O}}b(I))\), verträglich mit Morphismen in I (d. h., für α : ij in I ist ϕjF(α) = ϕi), die universell mit dieser Eigenschaft ist. Letzteres heißt: Hat \(({X}^{^{\prime} },{{\varphi }^{^{\prime} }}_{i},i\in {\mathscr{O}}b(I))\) dieselbe Eigenschaft, so existiert genau ein Morphismus \(h:X\to {X}^{^{\prime} }\text{mit}{{\varphi }^{^{\prime} }}_{i}=h{\varphi }_{i}\).

Der duale Begriff ist der des projektiven oder auch inversen Limes \({\mathrm{lim}}_{\leftarrow }F\,=\,{\mathrm{lim}}_{\mathop{\leftarrow }\limits_{i}}F(i)\) für einen Kofunktor F : Iop → 𝒞: Hier muß man in obiger Definition alle Pfeile in 𝒞 umkehren.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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