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Lexikon der Mathematik: Limes superior einer reellen Folge

die Größe

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\sup }\limits_{n\to \infty }{a}_{n}=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\sup \{{a}_{k}|k\ge n\},\end{eqnarray}

wobei (an) die benannte reelle Folge bezeichnet.

Man beachte, daß die Folge (sup{ak | kn}) antiton ist, also entweder konstant gleich ∞ oder konvergent oder bestimmt divergent gegen −∞.

lim supn→∞an, oder kurz lim sup an, ist gerade das Supremum der Menge der Häufungswerte der Folge (an). Insbesondere gibt es eine Teilfolge von (an), die gegen lim sup an konvergiert bzw. bestimmt divergiert.

Der Limes superior einer beschränkten Folge ist reell und selbst Häufungswert der Folge, also das Maximum der Menge der Häufungswerte. Nach oben unbeschränkte Folgen haben ∞ als Limes superior. Folgen, die nur −∞ als Häufungswert haben (z. B. (an) = (−n)), haben −∞ als Limes superior. Die Zahl a ∈ ℝ ist genau dann der Limes superior von (an), wenn für jedes ϵ > 0 für unendlich viele n ∈ ℕ die Ungleichung an > aϵ gilt und für höchstens endlich viele n ∈ ℕ die Ungleichung an > a + ϵ. Es gilt

\begin{eqnarray}\mathrm{lim}\inf {a}_{n}\le \mathrm{lim}\sup {a}_{n}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}\mathrm{lim}\sup \,(-{a}_{n})=-\,\mathrm{lim}\inf {a}_{n},\end{eqnarray}

wobei lim inf an den Limes inferior von (an) (Limes inferior einer reellen Folge) bezeichnet, und mit der Vereinbarung α · (±∞) = α gilt lim sup α an = α lim sup an für α ∈ (0, ∞).

Man beachte auch die Ungleichungen für Limes Inferior und Superior reeller Folgen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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