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Lexikon der Mathematik: Lindstedtsche Reihe

formale Störungsentwicklung der Lösungen des folgenden Hamiltonschen Systems in trigonometrischen Funktionen:

Im \(({{\mathbb{R}}}^{2n},\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}d{x}_{i}\wedge d{y}_{i})\) sei eine formale Potenzreihe \(F=\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\mu }^{k}{F}_{k}\) von reellwertigen C-Funktionen Fk so gegeben, daß F0 nur von den ‚Impulsvariablen‘ x := (x1, …, xn), und Fk für k ≥ 1 2π-periodisch von den ‚Ortsvariablen‘ y := (y1, …, yn) abhängt. Die Integralkurven t ↦ (x(t), y(t)) des Hamilton-Feldes von F werden als formale Potenzreihen in µ angesetzt, d. h. (z = x oder z = y)

\begin{eqnarray}z(t)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\mu }^{k}{z}^{(k)}(t,\mu ),\end{eqnarray}

wobei die Funktionen z(k) in folgender Weise als Fourier-Reihen angesetzt werden:

\begin{eqnarray}{z}^{(k)}(t,\mu )=\displaystyle \sum _{\overrightarrow{m}\in {{\mathbb{Z}}}^{n}}{A}_{\overrightarrow{m}}\cos (\overrightarrow{m}\cdot (\overrightarrow{n}t+\overrightarrow{\omega })+h(\mu ))+Bt.\end{eqnarray}

Hierbei stellen \({A}_{\overrightarrow{m}},B\in {\mathbb{R}},\overrightarrow{n},\overrightarrow{\omega }\in {{\mathbb{R}}}^{n}\) von k abhängige Konstanten dar, und B verschwindet für z(k) = y(k).

Der Lindstedtsche Reihenansatz wurde Ende des 19. Jahrhunderts von A. Lindstedt vor allem für die Himmelsmechanik konzipiert und führt zu einer formalen Lösung des Systems, jedoch ist seine Konvergenz nicht immer erfüllt (H. Poincaré, 1957).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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